伴随矩阵的性质及运用

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1、伴随矩阵的性质及运用邓文斌09数计（2）班电话：13697032201摘要伴随矩阵是矩阵的重要概念，有它可以推导出方阵的逆矩阵的计算公式从而解决方阵求逆的问题。同时伴随矩阵的性质也相当重要，本文列举了伴随矩阵的若干性质及给出了相关证明，最后给出了用性质解决问题。关键字：矩阵；伴随矩阵；性质；运用引言因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点在计算中经常出现把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.1.伴随矩阵的定义设是矩

2、阵A=中元素的代数余子式，矩阵=称为A的伴随矩阵。A的伴随矩阵有两步骤定义：（1）把A的每个元素都换成它的代数余子式，（代数余子式定义：在一个n级行列式D中，把元素第i行第j列元素（i，j=1,2，。。。。n）所在的行与列划去后，剩下的个元素按照原来的次序组成一个n-1阶行列式，称为元素的余子式，带上符号称为的代数余子式，记作。）（2）将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵。2.伴随矩阵的实例2.1二阶伴随矩阵的求法设A是一个二阶矩阵，则有A可得（i，j=1,2）为代数余子式则A的伴随矩阵为=2.2三阶伴随矩阵的求法对于三阶矩阵首先求出各代数余子式A11=(-1)^2*(a2

3、2*a33-a23*a32)=a22*a33-a23*a32A12=(-1)^3*(a21*a33-a23*a31)=-a21*a33+a23*a31A13=(-1)^4*(a21*a32-a22*a31)=a21*a32-a22*a31A21=(-1)^3*(a12*a33-a13*a32)=-a12*a33+a13*a32……A33=(-1)^6*(a11*a22-a12*a21)=a11*a22-a12*a21然后伴随矩阵就是3.伴随矩阵的性质3.1，E为n阶单位矩阵。3.2矩阵A式可逆矩阵的充分必要条件是A非退化，而（）证明：当，由，可知，A可逆，且反过来，如果A可

4、逆，那么有使两边去行列式，得因而，即A非退化。该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵证明有用。3.3若A为非奇异矩阵，则证明：因为，由两边取逆可得，故另一方面，由，有可得综上，该性质说明了A的逆你伴随矩阵和A的联系。1.伴随矩阵的性质4.1令A,B为n阶矩阵，则（1）A对称（2）A正交（3）若A与B等价，则（4）若A与B相似，则（5）若A与B合同，则（6）A=B；（7）A正定（8）A为可逆矩阵（9）如果A是可逆矩阵，那么A为反对称证明：这里只证（1），（2），其余的这里就不再证明了。(1);(2)因为A是正交矩阵，故是正交矩阵.4.2，其中A是n阶方阵（n2）证明：若若

5、，这时秩1，，而也有综上得4.3设A为n阶矩阵，则秩=证明:事实上，当秩A=n，即A可逆时，由于，故也是可逆的，即秩=n当秩A=n-1时，有，于是，，从而秩；又因秩A=n-1，所以至少有一个代数余子式，从而又有秩，于是秩=1当时，=0，即此时秩=04.4若A=，则证明：==4.5设k为常数，证明：。4.6当A可逆时，。证明：由，。而，故结论成立。4.7证明：当=0时，秩=0，=0，当时，4.8=证明：=而，故结论成立。4.9若A为正交矩阵，则也是正交矩阵。证明：因为A为正交矩阵，则于是故也是正交矩阵。4.10设为n阶可逆矩阵A的一个特征值，则为的特征值。证明：，又为的特征值

6、，故存在非零向量a，使即从而，故为的特征值。4.11若A是正定矩阵,则也是正定矩阵。证明　首先正定矩阵有以下结论:A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全为正。不妨设、为A的特征值,若A是正定矩阵,则λ>0,i=1,2,…,n,

7、A

8、>0且A可逆。因为=

9、A

10、,所以的特征值为:

11、，由以上的条件知,的所有特征值全都为正。所以也是正定矩阵。5伴随矩阵的应用5.1若，求。解：A=，，，由3.2性质得。此题比较常见求A的逆矩阵问题5.2设.解：由，因为本题所以.此题是求A的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂5.1已知3阶矩阵A的逆矩阵为试求伴随矩阵的逆矩阵.解

12、：，，又性质3.3得，，所以。此题把求A的伴随矩阵的逆矩阵问题转化为求A的逆矩阵的伴随矩阵问题。5.2若，则求。解：，又，得，。5.4已知为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为，且，求.解.5.5、已知和均为阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为和，分块矩阵，求的伴随矩阵.解由得，5.6设为一个3阶矩阵，且已知，求.解因为，所以.5.7已知都是阶方阵，.解5.8已知为阶可逆矩阵,且，化简.解因为，所以，所以5.9已知和为三阶可逆矩阵，且，，求.解经计算可得，所以5.10设、为三阶相似矩阵，的特征值为1，1，3，求.解因为的特征值为