第3章傅里叶变换分析

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1、第3章傅里叶变换分析1.什么是频谱？如何得到信号的频谱？目前我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式，比如正弦信号的幅度随着时间按正弦函数的规律变化；另一方面，对于正弦信号，如果知道其振幅、频率和相位，则正弦信号的波形也惟一确定。根据这个原理和傅里叶级数理论，满足一定条件的周期信号都可以分解为不同频率的正弦分量的线性组合，从而我们用各个正弦分量的频率•幅度、频率■相位来表示周期信号的描述方式就称为周期信号的频谱表示，随着对信号研究的深入，我们将周期信号的频谱表示乂推广到非周期信号的频谱表示，即通常的傅里叶变换。对于周期信号，其频谱一般用傅里叶级数表示，而傅

2、里叶级数的系数就称为信号的频谱：OOOOfr（t）=d（）+工仏cosnat+hnsinna）、t）=c（）+工cncos^nco^t+%）n==或齐⑴垃F严其中：Fn=—周期信号和菲周期信号的频谱有何不同？周期信号的频谱可以用傅里叶级数表示，它是离散的、非周期的和收敛的。而非周期信号的频谱用傅里叶变换表示，它是连续的、非周期的和收敛的。TT若假设周期信号为办⑴，非周期信号为九⑴=齐⑴_2

3、叶变换表示：f⑴冷匚F（jMde其中：F（jco）=^f（Deceit期信号A(0的傅里叶级数的系数为人,非周期信号九⑴的傅里叶变换为F(j®,则有如下的关系：Fn=^F(jco)^=^FUco)细Twt曲〒3.吉伯斯现象是如何产生的？当周期信号存在不连续点时，如杲用傅里叶级数逼近，则不论用多少项傅里叶级数，只要不是所有项，则在不连续点必然有起伏，II其起伏的最大值将趋近于一个常数，大约等于不连续点跳变值的8.95%,我们称这种现象为吉伯斯现象。4.傅里叶变换的对称性如何应用？傅里叶变换的对称性是指：若/⑴㈠贝UZ(-r)㈠F(-兀勿=1尸(一.砂)丨€购"；广⑴

4、㈠尸(―M)=IF(—沟)七一购"f(-t)㈠FXja))=F(ja))e-j^从而应用傅里叶变换的线性性质：实信号的傅里叶变换具有共辘对称性，即实信号的幅度谱具有偶函数的特点,而相位谱具有奇函数的特点。实际屮我们应用的基木都是实信号和实系统，因而在频域分析时基木上都用到这一特性。例如：某实系统的频响特性是：H(je)=1H(jco)I"◎(“)；输入的是实信号，具有频谱：X(M)=IX(〃y)l/z)从而输出的也是实信号，且频谱为：丫(沟)=IH(M)IIX(.M)l"©s)wg】5.傅里叶变换的对偶性有何意义？傅里叶变换的对偶性建立了信号的吋域表示波形和频域表

5、示波形之间的对偶特点，即信号的表示形式不论是哪一种，在对信号的信息表示方面是等价的。利用傅里叶变换的对偶性可以很方便地求解某些信号的傅里叶逆变换。6.傅里叶变换的微分积分特性应用冇何条件？傅里叶变换的微分积分特性有两个方面，即吋域的微分积分特性和频域的微分积分特性；根据傅里叶变换的对偶性，两类的条件也具冇对偶性。这里说明应用时域的傅里叶变换微分积分特性的条件。时域微分特性表示为：若/(r)㈠FUco),时域积分特性表示为：贝ij：〃⑴㈠jcoF(ja))dt—jco一般地，这两个特性常结合起来用于求解复杂信号的傅里叶变换。即:假设：恥晋…易于得到和应的傅里叶变换映)；

6、从而应用积分特性，有F(兀y)㈠①"")+血(0)》(劲j®注意，上述间接求解法屮，对于傅里叶变换的时域微分特性应用没有特殊的要求,但是，对于积分特性的应用要求信号/(r)=0(r=±oo)o若不能满足此条件，则上式的积分特性表达式要修正为：3.什么是信号的周期取样，取样对信号产生什么样的影响？取样会不会改变信号的性质，如果改变，如何改变的？随着数字技术的发展，数字信号处理的优点得到了信号处理和电子应用领域工作者的广泛认可，因而数字系统的应用领域也越来越广。而数字系统要求处理的信号是数字信号，这样就耍求产生数字信号，在工程屮，一般是通过A/D转换器实现的，而从物理概念

7、上来说，首先对连续时间信号进行取样，然后通过对取样得到的离散信号量化而获得数字信号。一般地，取样是通过周期地启动取样开关，即取样是等间隔进行的，因而称为周期取样。信号经取样后，由连续时间信号而成为离散时间信号。若取样间隔太大，将会造成信号小信息的丢失；而若取样间隔太小，虽然可以很好地保留信号屮的信息，但需存储的数据量太大，造成系统的负担太重。如何很好地确定取样间隔，可由奈奎斯特取样定理进行选择。而且取样对信号产生的作用可用下式表示：假设信号兀⑴的频谱为X(j®,对其进行周期取样得到兀⑴，取样频率为f=UT(T是取样间隔)。则兀(/)的傅里叶变换为:X