第9讲 傅里叶变换

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1、§3.1引言1频域分析本章:时域→变换域分析.首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。频域分析:时间变量→变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。2§3.2周期信号的频谱分析——傅里叶级数3.2.1周期信号的频谱3.2.2非周期信号频谱分析——傅里叶变换3.2.3常用非周期信号的傅里叶变换3.2.4奇异函数的傅里叶变换3主要内容•三

2、角函数形式的傅氏级数•指数函数形式的傅氏级数•两种傅氏级数的关系•频谱图•函数的对称性与傅里叶级数的关系•周期信号的功率•傅里叶有限级数与最小方均误差4一．三角函数形式的傅里叶级数1.三角函数集cosnt,sinnt是一个完备的正交函数集11t在一个周期内，n=0,1,....由积分可知T2cosntsinmt0T112TT,mn2ntmtTcos1cos1220,mnTT,mn2ntmtTsin1sin1220,mn52．级数形式2周期信

3、号ft,周期为T,基波角频率为11T1在满足狄氏条件时，可展成:f(t)aacosntbsinnt10n1n1n1称为三角形式的傅里叶级数，其系数1t0T直流分量:af(t)dt0Tt02t0T余弦分量的幅度af(t)cosntdtn1Tt02t0T正弦分量的幅度bf(t)sinntdtn1Tt06狄利克雷（Dirichlet）条件条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；条件3:在一周期

4、内，信号绝对可积;7例1求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。Aftf(t)tT/2tT/211T1AT1T1A1a2tdt020T1T1tTT1212T12Aa2tcosntdt02nT11T12T11TT121AA2n1bnT1tsinn1tdt(1)n1,2,3TTn121周期锯齿波的傅里叶级数展开式为AAft0sintsin2t112直流基波谐波8其他形式f(t)cccosnt2余弦形式0n1nn

5、1ca221bn00cnanbntgnanancncosnbncnsinn正弦形式f(t)d0dnsinn1tnn1bda22tg1n00dnanbnnanadsinbdcosnnnnnn9幅度频率特性和相位频率特性周期信号可分解为直流，基波（）和各次谐波1（n:基波角频率的整数倍）的线性组合．1c~关系曲线称为幅度频谱图n~关系曲线称为相位频谱图n可画出频谱图周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性10二．指数

6、函数形式的傅里叶级数1．复指数正交函数集jn1t0,1,2enjn1t2．级数形式f(t)F(n1)e4n3．系数利用复变函数的正交特性T1jn1tf(t)edt0F(n)1T1jn1tjn1teedt0也可写为1T1jn1tFf(t)edt5nT011说明jn1tf(t)F(n1)e4n1T1jntFnf(t)e1dt51T0jn1t周期信号可分解为,区间上的指数信号e的线性组合。如给出F(n)

7、，则ft唯一确定，(4)、(5)式是一对1变换对。12三．两种系数之间的关系及频谱图1Tjn1tF(n)f(t)edt利用欧拉公式1T011TTft()cosnttdjft()sinnttd11TT001annjb21T1TF(n)f(t)cosntdtjf(t)sinntdt111T0T01ajbnn2jnF(n1),F(n1)是复数Fn1F(n1)e13幅频特性和相频特性1221幅频特性F(n1)anbncn22b1n

8、相频特性tgnana关于的偶函数（实际n取正值）nb关于的奇函数（实际n取正值）nF(n)关于的偶函数1n关于的奇函数114频谱图幅度频谱cnc1cn~离散谱，谱线c或0c3F~曲线nO311n相位频谱~曲线nO31115例2已知f(t)1sint2costcos2t，111