第17讲 周期信号的傅里叶变换

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1、第3章信号与系统的频域分析本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论其特点。通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一用傅里叶变换作为分析工具。第3章信号与系统的频域分析本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频

2、谱为达到特定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系统对任意信号的响应。通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信号的调制与解调等等。本章主要内容3.1周期信号的分解与合成3.2周期信号的频谱及特点3.3非周期信号的频谱3.4傅氏变换的性质与应用（1）3.5傅氏变换的性质与应用（2）本章主要内容3.6周期信号的频谱3.7系统的频域分析3.8无失真传输系统与理想低通滤波器3.9取样定理及其应用3.10频域分析用于通信系统第17讲周期信号的

3、的频谱周期信号进行傅里叶变换的目的将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散频谱，令周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信号，从而由傅里叶级数在周期趋于无穷大的极限导出傅里叶变换，由周期信号的离散谱过渡到连续谱，引出频谱密度函数的概念。尽管周期信号不满足绝对可积的条件，但引入冲激函数后，可以对周期信号进行傅里叶变换，从频谱密度的角度观察周期信号的离散频谱。同时将周期信号和非周期信号的分析方法用傅里叶变换工具统一起来。周期信号的傅立叶变换复指数信号的傅里叶变换正余弦信号的傅立叶变换一般周期信号的傅立叶变换周期单位冲激序列的FS和FT周期信号的FS与其单周期

4、信号的FT的关系周期矩形脉冲的FS和单脉冲信号FT单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较周期信号的傅立叶变换存在条件周期信号不满足绝对可积条件。引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的。周期信号的频谱是离散的频谱密度，即傅立叶变换是一系列冲激。1.复指数、余弦和正弦信号信号的傅里叶变换因为由频移特性，可知而对于正弦和余弦信号根据线性性质并利用复指数信号频谱，得到其频谱函数分别为对于复指数余弦信号和正弦信号的波形及其频谱正余弦信号的傅立叶变换:利用频移特性正余弦信号的傅立叶变换:用极限方法有限长余弦看成矩形乘对有限长余弦的

5、频谱求极限，得到无限长余弦频谱2.一般的周期信号的傅立叶变换的指数形式的傅里级数展开式为周期信号系数：根据傅里叶变换的线性和频移特性周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变换反映的是频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于其傅里叶系数，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即谐波频率点)取得了无穷大的频谱值。2.一般的周期信号的傅立叶变换周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率处，其强度为相应傅里叶级数系数的倍。3、周期单位冲激序列的傅里叶变换FSFT3.周期冲激序列的波形、傅里叶系数、频谱函

6、数由FS取f(t)的一个周期，其FT为所以4.周期信号的傅立叶级数与其单周期信号的傅立叶变换的关系4.周期信号的傅立叶级数与其单周期信号的傅立叶变换的关系单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较单脉冲的频谱是连续谱，它的大小是有限值；周期信号的频谱是离散谱，是频谱密度的概念，它的大小用冲激表示；是的包络的。5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系例1：已知周期矩形脉冲信号f(t)的幅度为A，脉宽为τ，周期为。求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶变换。角频率解：周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数是其傅里叶系数为（1）（2）5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系解：单个

7、矩形脉冲的傅里叶变换为比较（2）和（3），可得（3）（4）（2）5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系解：将（4）带回（1）式，得到所以，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换为周期信号时域表示周期信号双边频谱周期信号频谱密度5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系周期重复5.周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系由单脉冲联想FS的FnFSFT6单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较单脉冲的频谱是连续谱，它的大小是有限值；周期信号的频谱是离散谱，是频谱密度的概念，它的大小用冲激表示；思考与练习1周期信号有几种表示形式？各是什么？2周期信号既可以用傅里叶级数展开，又可以用傅里叶变换表示，

8、两者有何不同？