非周期信号的傅里叶变换1.ppt

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1、第十二讲信号分解为正交函数一、教学目的与教学要求：1、熟练掌握基本概念。2、理解基本公式与性质在系统中的实际应用。3、基本掌握解题方法与解题技巧。二、教学重点与教学难点：1．信号分解为正交函数2．傅里叶级数3．傅里叶变换的性质三、引入新课；四、新课内容：4.2傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅里叶级数系数an,bn称为傅里叶系数二、傅里叶级数的指数形式式中，A0=a0将上式同频率项合并，可写为n=0,±1,±2，…三、周期信号频谱的特点举例：有

2、一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）,n=0,±1，±2，…Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4τ画图。零点为所以，m为整数。特点：(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。谱线的结构与波形参数的关系：(a)T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多。(b)一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周

3、期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。4.4非周期信号的傅里叶变换一、傅里叶变换非周期信号f(t)可看成是周期T→∞时的周期信号。前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令(单位频率上的频谱）称F(jω)为频谱密度函数。考虑到：T→∞，Ω→无穷小，记为dω；nΩ→ω（由离散量变为连续量），而同时，∑→∫于是，傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函

4、数，简称频谱。f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。根据傅里叶级数也可简记为F(jω)=F[f(t)]f(t)=F–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是复函数，写为F(jω)=

5、F(jω)

6、ej(ω)=R(ω)+jX(ω)说明(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分二、常用函数的傅里叶变换单边指数函数f(t)=e–tε(t)，>0实数2.双边指数函数f(t)=e–t,>03.门函数(矩形脉冲)4.冲激函数(t)5.常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件

7、，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列{fn(t)}逼近f(t)，即而fn(t)满足绝对可积条件，并且{fn(t)}的傅里叶变换所形成的序列{Fn(j)}是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F(j)为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。构造f(t)=e-t，>0←→所以又因此，1←→2()6.符号函数7.阶跃函数(t)6.符号函数7.阶跃函数(t)归纳记忆：1.F变换对2.常用函数F变换对：δ(t)e-tε(t)gτ(t)e–

8、t

9、112πδ(ω)归纳记忆：1.F变换对2.常用函数F变换对：δ(t)ε

10、(t)e-tε(t)gτ(t)sgn(t)e–

11、t

12、112πδ(ω)第十四讲傅里叶变换的性质一、教学目的与教学要求：1、熟练掌握基本概念。2、理解基本公式与性质在系统中的实际应用。3、基本掌握解题方法与解题技巧。二、教学重点与教学难点：1、线性(LinearProperty)2、时移性质(TimeshiftingProperty)3、对称性质(SymmetricalProperty)4、频移性质(FrequencyShiftingProperty)5。尺度变换性质(ScalingTransformProperty)6。卷积性质(ConvolutionProperty)三、引入

13、新课；四、新课内容：4.5傅里叶变换的性质一、线性(LinearProperty)Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)thenProof:F[af1(t)+bf2(t)]=[aF1(jω)+bF2(jω)][af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]ForexampleF(jω)=?Ans:f(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)‖-二、时移性质(