3.7周期信号的傅里叶变换

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1、3.7周期信号的傅里叶变换在引入奇异函数之前周期信号因不满足绝对可积条件而无法讨论其傅里叶变换，只能通过傅里叶级数展开为谐波分量来研究其频谱性质。而在引入奇异函数后，从极限的观点来分析，则周期信号也存在有傅里叶变换。这样非周期信号与周期信号的分析就可以统一用傅里叶变换来分析了。首先讨论指数函数的傅里叶变换。因为直接计算这个积分有困难，所以要用间接方法来进行变换。为此先来考虑单位冲激函数及其变换式的关系。我们知道由为偶函数可直接得再把上式中积分变量以代换，以代换，可得的值为即（3-63）由此可见的傅里叶变换，为一位于且强度为的冲激函数。利用这一结果，可以证明：（？）（3-64）以及：

2、（3-65）（3-66）一个周期信号总可以用傅里叶级数将其展开为谐波分量之和，如式（3-34）所示。即其中：，显然，此周期信号的傅里叶变换应为由式（3-63），上式可写成（3-67）由式（3-67）可见，周期信号的频谱函数是一个冲激序列，各个冲激位于各次谐波频率处，各冲激的强度分别等于各次谐波复振幅的倍。例题3-5求均匀冲激序列的傅里叶变换。解均匀冲激序列，是如图3-20（b）所示的向的正负方向无限伸展的、间隔都等于的冲激函数的序列，它常以符号表示，即这是一个周期为的周期信号。由图3-20(a)可见，在间隔内，，故根据式（2-26）所示的取样性质故。代入式（3-67）可得即（3-6

3、8）式中表示一个冲激序列，也就是在轴上每隔出现一个冲激。这种频谱如图3-20（b）所示。由此可见，一个冲激序列的傅里叶变换仍是一冲激序列。