傅里叶变换分析.docx

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1、第3章傅里叶变换分析在第2章中，我们讨论了连续时间系统的时域分析。在那里以冲激函数为基本信号。任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和，而系统零状态响应是输入信号与系统单位冲激响应的卷积。本章将以正弦函数(包括余弦函数)或复指数函数ejωt为基本信号。任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦函数或复指数函数之和(对于周期信号)或积分(对于非周期信号)。分解后变量是频率(或角频率)。把信号表示为不同频率的正弦分量的线性组合称为信号的频谱分析(frequencyspectrum)，用频谱分析的观点来分析系统称为系统的傅里叶变换（

2、Fouriertransform）分析法，或频域(frequencydomain)分析法。傅里叶分析的研究与应用至今已经历了一百余年。1822年法国数学家傅里叶(J．Fourier1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。当今，傅里叶分析法已经成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。傅里叶分析法不仅应用于电子工程及无线电技术领域之中，而且在力学、光学、量子物理等工程技术领域中得到广泛应用。本章主要讨论周期信号与非周期信号的频谱

3、分析，还要讨论用傅里叶分析法研究系统的有关问题。3．1周期信号的频谱分析——傅里叶级数在1.4节中已经讨论过，任何周期函数在满足狄里赫利条件下，可以展开成用正交函数线性组合表示的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集{cosnω1t,sinnω1t}或复指数函数集{ejnω1t}，则周期函数所展开的级数称为“傅里叶级数”（Fourierseries）(简称傅氏级数)。前者称为“三角形式的傅里叶级数”(trigonometricFourierseries)，后者称为“指数形式的傅里叶级数”(exponentialFourier

4、series)，它们是傅里叶级数两种不同的表示形式。本节与下节我们将利用这一数学工具研究周期信号的频域特性，建立“信号频谱”的概念。3．1．1三角形式的傅里叶级数若周期信号f(t)（周期为T1，角频率ω1=2πf1=2π）满足狄里赫利条件，则它可以展T1开成三角形式的傅里叶级数。即f(t)=a0+a1cosω1t+a2cos2ω1t++ancosnω1t++b1sinω1t+b2sin2ω1t++bnsinnω1t+∞=a0+∑(ancosnω1t+bnsinnω1t)（3-1）n=1上式中的各系数an、bn称为傅里叶级数

5、的系数，简称为傅里叶系数(Fouriercoefficient)，661t0+T1a0=∫t0f(t)dtT1an=2∫tt00+T1f(t)cosnω1tdt（3-2）T12t0+T1b=∫t0f(t)sinnωtdtnT11其中n=1,2,3为方便起见，通常积分区间(t,t+T)取为(0,T)或(−T1,T1)。001122式(3–1)中的a0实际上就是函数f(t)的平均值亦即直流分量(directcomponent)。当n=1时，acosωt和bsinωt合成一角频率*为ω=2π的正弦分量，称为基波分量(fundam

6、ental11111T1component)，ω1称为基波频率。当n大于1时，ancosnω1t和bnsinnω1t合成一个角频率为nω1的正弦分量，称为n次谐波分量(nthharmoniccomponent)，nω1称为n次谐波频率。通常可将式(3–1)中同频率项加以合并，得到另一种三角形式的傅里叶级数∞f(t)=c0+∑cncos(nω1t+ϕn)n=1比较式(3–1)和式(3–3)，可得傅里叶级数之间的关系c0=a0cn2=an2+bn2bϕn=arctan(−n)an(n=1,2,3)（3-3）（3-4）由式(3

7、-1)或式(3-3)就可以十分清楚地看出，任何周期信号只要满足狄里赫利条件，就可以分解成直流分量以及一系列谐波分量之和。而式(3-2)及式(3-4)则为直流分量和各次谐波分量的振幅和相位，由这两式还可看出，系数an和振幅cn都是频率nω1的偶函数，系数bn和相位ϕn都是频率nω1的奇函数。3．1．2指数形式的傅里叶级数若周期信号f(t)（周期为T1，角频率ω1=2πf1=2π）满足狄里赫利条件，则它也可以T1展开成指数形式的傅里叶级数。即f(t)=F+Fejω1t+Fej2ω1t++Fejnω1t++012nFe−jω1t

8、+Fe−j2ω1t++Fe−jnω1t+−1−2−n*频率为周期之倒数，即f=T1，角频率为频率的2π倍，即ω=2πf。在进行理论分析时，往往用角频率ω比较方便。为简单起见，常省去“角”字，而简称为频率。当进行实际计算时，则要考虑一个2π的乘数。67∞=∑Fnejnω1t（3-5）n=式中，傅里叶系数F