傅里叶变换公式(20210128072427).docx

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1、第2章信号分析本章提要信号分类周期信号分析--傅里叶级数非周期信号分析--傅里叶变换脉冲函数及其性质信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段§2－1信号的分类两大类：确定性信号，非确定性信号确定性信号：给定条件下取值是确定的。进一步分为：周期信号，非周期信号。质量一弹簧系—统的力学模型x(t)二Acos、+卑0m非确定性信号(随机信号)：给定条件下取值是不确定的按取值情况分类：模拟信号，离散信号数字信号：属于离散信号，幅值离散,并用二进制表示。信号描述方法时

2、域描述如简谐信号简谐信号及其三个要素频域描述以信号的频率结构来描述信号的方法：将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。vpagebreak〉§2-2周期信号与离散频谱一、周期信号傅里叶级数的三角函数形式周期信号时域表达式x(t)=x(tT)=x(t2T)==x(tnT)(n…1,2，…)T:周期。注意n的取值：周期信号无始无终”#傅里叶级数的三角函数展开式x(t)二a。'(ancosn0tbnsinn0t)n=1(n

3、=1,2,3,…)傅立叶系数：a。1:x(t)dtT-Tan22〒jTx(t)cosn^0tdtbn22Tx(t)sinn0tdt式中T--周期；，o--基频,'o=2/T三角函数展开式的另一种形式:频谱图11*』nq***1«11国02°0“国0"⑷0⑷㊂o2叽」，周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性例1:求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图解：解:非对称周期方波周期方波x(t”••—riA•••1

4、n0tdt—42Asinn0tdt二T04A4An为奇数二n0n为偶数cosnnn次谐波的幅值和相角4AJIn(n=1,3,5/)最后得傅立叶级数4Acos(n0t)n2(n=1,3,5,)An」4A14A4A“n1

5、3计「303330530

6、・••3312x(t)二'n频谱图幅频谱图相频谱图二、周期信号傅里叶级数的复指数形式欧拉公式pt丄・・丄e=cos焙t±jsin代trcos^t=1/一j豹t丄jwt(e+e)2snt=Ijjt21)ve-e2j=1傅立叶级数的复指数形式od/Xx亍jn%

7、tx(t)=送Cnen=-乂(n=0,±1,±2,±3,)复数傅里叶系数的表达式12Co=a°二T^x^dta^jbn21T2rx(t)ejnotdtT其中an,bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。—般Cn是个复数。因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数,因此#ana-nb-nbn即：实部相等，虚部相反，Cn与C-n共轭。Cn的复指数形式Cn=Cne共轭性还可以表示为c-n©=—$n—n即：Cn与C-n模相等，相角相反。傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系对

8、于n>0van(bn)2An22（等于三角n二arctg（与三角函数形式中的函数模的一半）7忙n_-arctgn_arctgnanan-bna“相角相等）用Cn画频谱：双边频谱第一种：幅频谱图：

9、Cn

10、-，相频谱图：n-•第二种：实谱频谱图：Recn-,虚频谱图:ImCn-'；也就是an-'和-bn-'.#§2-3非周期信号与连续频谱分两类：a.准周期信号定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成频谱特性：离散性，非谐波性判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数b.瞬变非周期信号几种瞬变非周

11、期信号数学描述：傅里叶变换一、傅里叶变换演变思路：视作周期为无穷大的周期信号式（2.22）借助（2.16）演变成：x(t)的傅里叶变换X(3)X(3)的傅里叶反变换x(t)：Acox(t)二丄(X()ejid2傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率•连续变化的无数谐波X()ej方的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函数。对应关系：121X（3）d®jwtr1jnOote二LcnJe:2-X()描述了x(t)的频率结构X()的指数形式为)=x()护4以频率f(Hz)为自变量，因为

12、f=w/(2p),得X(f)二fx(t)e_3ftdt—cdx(t)=j]x(f)ej"ftdfX(f)的指数形式X(f)=

13、x(f)

14、ejQ(f)频谱图幅值频谱图和相位频谱图：幅值频谱图相位频谱图如果X()是实函数，可用一张X()图表示负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为二或「。二、傅里叶变换的主要性质(一)叠加性a1x1(t)+a2x2(t)-a1X1(fpa2X2(f)(二)对称性X(t)-戸-x(f)(注意翻转)（三）时移性质x（t土t0）-戸Tx（f）e±