第8章 傅里叶变换

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1、第7章傅里叶变换§7.1傅里叶变换的概念§7.2傅里叶变换的性质从T为周期的周期函数fT(t)，如果在上满足狄利克雷条件，那么在上fT(t)可以展成傅氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形式为预备知识在fT(t)的间断点t0处，式(7.1.1)的左端代之为§7.1傅里叶变换的概念引进复数形式：对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(

2、t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有Fourier积分公式与Fourier积分存在定理{Ow1w2w3wn-1wn{w也可以转化为三角形式又考虑到积分也叫做的傅氏积分表达式傅立叶变换的概念（定义7.1.1）叫做的傅氏变换,象函数,可记做=ℱ[]叫做的傅氏逆变换,象原函数,=ℱ例1求矩形脉冲函数的付氏变换及其积分表达式。tf(t)δ－函数及其傅立叶变换在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的

3、量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.1δ函数的定义（1）δ函数的数学定义（2）物理学家狄拉克给出的定义满足下列两个条件的函数称为δ函数：（i）（ii）3.δ函数在积分变换

4、中的作用δ函数的傅氏变换是广义傅氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件的，这些函数的广义傅氏变换都可以利用δ函数而得到。2.δ函数的性质（1）对任意的连续函数（2）函数为偶函数,即（3）其中,称为单位阶跃函数..d-函数的傅氏变换为:于是d(t)与常数1构成了一傅氏变换对.证法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆变换可得例1证明：1和2pd(w)构成傅氏变换对.证法1：由上面两个函数的变换可得例3证明符号函数的付氏变换为证：ℱ例4求单位阶跃函数的傅氏变换

5、解注意到ℱ例5求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换。可以证明ℱ常用函数的傅立叶变换对ℱℱℱℱℱℱℱ§7.2Fourier变换与逆变换的性质这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏变换中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.7.2.1线性性质:7.2.2位移性质:证明：例1求ℱℱ解因为所以ℱ7.2.3相似性：证明：例2计算。（先用相似性，再用位移性）7.2.4微分性：例3利用傅氏变换的性质求例4若f(t)=sinw0tu(t),求其傅氏变换。7.2.5积分

6、性：7.2.6乘积定理7.2.7卷积与卷积定理1．上的卷积定义7.2.1若给定两个函数,则积分称为函数的卷积,记为7.2.6帕塞瓦尔(Parserval)等式例5求下列函数的卷积：由卷积的定义有2.卷积的简单性质：3．傅氏变换的卷积定理7.2.1=ℱ=ℱ若则ℱℱ例7求的傅氏变换。