第4章快速傅里叶变换（fft）

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1、第4章快速傅里叶变换(FFT)4.1引言4.2基2FFT算法4.3进一步减少运算量的措施4.4其他快速算法简介4.1引言DFT是数字信号分析与处理中的一种重要变换。但直接计算DFT，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换FFT(FastFourierTransform)出现以前，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965年提出DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本的变化。自从1965年库利和图基在《计算数学》杂志上发表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》论文后，桑德—图基等快速算法相继出现，又经人们进行改进，很快形成一

2、套高效计算方法，这就是现在的快速傅里叶变换（FFT）。这种算法使DFT的运算效率提高了1~2个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，大大推动了数字信号处理技术的发展。人类的求知欲和科学的发展是永无止境的。多年来，人们继续寻求更快、更灵活的好算法。1984年，法国的杜哈梅尔(P.Dohamel)和霍尔曼(H.Hollmann)提出的分裂基快速算法，使运算效率进一步提高。本章主要讨论基2FFT算法。4.2基2FFT算法4.2.1直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径有限长序列x(n)的N点DFT为考虑x(n)为复数序列的一般

3、情况，对某一个k值，直接按(4.2.1)式计算X(k)的1个值需要N次复数乘法和(N－1)次复数加法。因此，计算X(k)的所有N个值，共需N2次复数乘法和N(N－1)次复数加法运算。（4.2.1）当时，N(N－1)≈N2。由上述可见，N点DFT的乘法和加法运算次数均为N2。当N较大时，运算量相当可观。例如N=1024时，N2=1048576。这对于实时信号处理来说，必将对处理设备的计算速度提出难以实现的要求。所以，必须减少其运算量，才能使DFT在各种科学和工程计算中得到应用。如前所述，N点DFT的复乘法次数等于N2。显然，把N点DFT分解为几个较短的DFT，可

4、使乘法次数大大减少。FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT，并利用　的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。算法最简单最常用的是基2FFT。其对称性表现为(4.2.3a)或者(4.2.3b)另外，旋转因子具有明显的周期性和对称性。其周期性表现为4.2.2时域抽取法基2FFT基本原理基2FFT算法分为两类：时域抽取法FFT(DecimationInTimeFFT，简称DIT－FFT)；频域抽取法FFT(DecimationInFrequencyFFT，简称DIF－FFT)。本节介绍DIT－FFT算法。设序列x(n)的长度为N，且满

5、足N=2M，M为自然数。按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列则x(n)的DFT为因为所以其中Ｘ1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT,即由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且，因此X(k)又可表示为(4.2.5)(4.2.6)这样，就将N点DFT分解为两个N/2点DFT和(4.2.7)式以及(4.2.8)式的运算。(4.2.7)和(4.2.8)式的运算可用图4.2.1所示的流图符号表示，称为蝶形运算符号。采用这种图示法，经过一次奇偶抽取分解后，N点DFT运算图可以用图4.2.2表示。图中，N=23=8，X(0)~

6、X(3)由(4.2.7)式给出，而X(4)~X(7)则由(4.2.8)式给出。(4.2.7)(4.2.8)图4.2.1蝶形运算符号偶数点的N/2DFT奇数点的N/2DFT序列DFT的N/2个点序列DFT的后N/2个点图4.2.28点DFT一次时域抽取分解运算流图由图4.2.1可见，要完成一个蝶形运算，需要一次复数乘法和两次复数加法运算。由图4.2.2容易看出，经过一次分解后，计算1个N点DFT共需要计算两个N/2点DFT和N/2个蝶形运算。而计算一个N/2点DFT需要(N/2)2次复数乘法和N/2(N/2－1)次复数加法。所以，按图4.2.2计算N点DFT时，总

7、共需要的复数乘法次数为复数加法次数为由此可见，仅仅经过一次分解，就使运算量减少近一半。既然这样分解对减少DFT的运算量是有效的，且N=2M,N/2仍然是偶数，故可以对N/2点DFT再作进一步分解。与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4点的子序列x3(l)和x4(l)，即X1(k)又可表示为(4.2.9)式中同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和　　的对称性最后得到：(4.2.10)用同样的方法可计算出(4.2.11)其中：这样，经过第二次分解，又将N/2点DFT分解为2个N/4点DFT和(4.2.10)式或(4.2.11)式所示的N/4

8、个蝶形运算，如图4.2.