快速傅里叶变换(FFT).ppt

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1、第4章快速傅里叶变换4.1引言4.2直接计算DFT的问题及改进的途径4.3按时间抽取（DIT）的基2-FFT算法4.4按频率抽取（DIF）的基2-FFT算法4.5IDFT的高效算法4.6FFT的其他应用—快速卷积学习目标理解按时间抽取的基-2FFT算法的原理、运算流图、所需计算量和算法特点；理解按频率抽取的基-2FFT算法的原理、运算流图、所需计算量和算法特点；理解IFFT算法；理解线性卷积的FFT算法及分段卷积（即块卷积）方法。§4.1引言快速傅里叶变换（FFT）并不是一种新的变换，而是离散傅里叶变换（DFT）的

2、一种快速算法。在信号的频谱分析、系统的分析、设计和实现中都会用到DFT的计算。DFT的计算量太大，很难对问题进行实时处理，难以实用。1965年首次发现了DFT运算的一种快速算法以后，人们开始认识到DFT运算的一些内在规律，从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算方法，这就是快速傅里叶变换（FFT）的算法。FFT出现后使DFT的运算大大简化，运算时间一般可缩短一二个数量级之多，使DFT的运算在实际中真正得到了广泛的应用。§4.2直接计算DFT的问题及改进的途径一、直接计算DFT的运算量问题设x(n)为N点有限长序

3、列，其DFT为k=0,1,…,N-1反变换（IDFT）为n=0,1,…,N-1运算量一个X(k)复数乘法复数加法NN-1N2N(N-1)N个X(k)一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法；一次复数加法需二次实数加法。一个X(k)实数乘法实数加法4N2N+2(N-1)=2(2N-1)4N22N(2N-1)N个X(k)二、改进的途径x(n)长序列————短序列WNkn§4.3按时间抽取（DIT）的基-2FFT算法一、算法原理1.一次分解N→N/2设序列x(n)长度为N，且满足N=2M，M为正整数。按n的奇偶把x(n

4、)分解为两个N/2点的子序列：k=0,1,…..,N/2-1X1(k)与X2(k)分别是x1(r)及x2(r)的N/2点DFT：一个N点DFT已分解成两个N/2点的DFT利用周期性求X(k)的后半部分N点（N=8）DFTx(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(1)X2(2)X2(3)X2(0)-1-1-1-1WN0WN1WN2WN3N/2点DFTN/2点DFTx(0)=x1(0)x

5、(2)=x1(1)x(4)=x1(2)x(6)=x1(3)x(1)=x2(0)x(3)=x2(1)x(5)=x2(2)x(7)=x2(3)2.二次分解N/2→N/4X2(k)也可进行同样的分解：x(0)=x1(0)x(2)=x1(1)x(4)=x1(2)x(6)=x1(3)x(1)=x2(0)x(3)=x2(1)x(5)=x2(2)x(7)=x2(3)N/2点DFTN/2点DFTX1(0)X(0)X1(1)X(1)X1(2)X(2)X1(3)X(3)X2(1)X(5)X2(2)X(6)X2(3)X(7)X2(0)X

6、(4)-1-1-1-1WN0WN1WN2WN3N/2点DFT分解为两个N/4点DFT一个N=8点DFT分解为四个N/4点DFTN=8，四个N/4点DFT即四个2点DFT，其输出分别为：X3(k)，X4(k)，X5(k)，X6(k)，k=0,1N=8按时间抽取的FFT运算流图X3(0)X3(1)X4(0)X4(1)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)N=8时共有三级蝶形运算，每一级有N/2=4个蝶形X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)x3(0)x3(1)x4(0)x4(

7、1)x5(0)x5(1)x6(0)x6(1)二、按时间抽取的FFT算法与直接计算DFT运算量的比较N=2M时，共有M级蝶形，每级都由N/2个蝶形运算组成；每个蝶形需要一次复乘、二次复加；每级运算都需N/2次复乘和N次复加；M级运算总共需要：复乘数复加数数学符号lb=log2以乘法为例，直接DFT复数乘法次数是N2，FFT复数乘法次数是(N/2)lbN；直接计算DFT与FFT算法的复数乘法计算量之比为：当N=2048时，这一比值为372.4，即直接计算DFT的运算量是FFT运算量的372.4倍；当点数N越大时，FF

8、T的优点更为明显。对一个连续时间信号xa(t)采样1秒得到一个4096个采样点的序列，若计算采样信号的4096点DFT。假定仅对200≤f≤300Hz频率范围所对应的DFT采样点感兴趣。（1）若直接用DFT，要计算这些值需要多少次复乘？MN=101×4096=413696（2）若用基2的DIT-FFT计算，则需要多少次复乘？N/2log2N=4096/2lo