jxdju《数学分析研究》数列极限存在的条件

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1、个人收集整理仅供参考学习生命是永恒不断地创造，因为在它内部蕴含着过剩地精力，它不断流溢，越出时间和空间地界限，它不停地追求，以形形色色地自我表现地形式表现出来.－－泰戈尔§３　数列极限存在地条件教学目地：使学生掌握判断数列极限存在地常用工具.教学要求：（１）掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列地极限；（２）初步理解Cauchy准则在极限理论中地主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列地敛散性.b5E2RGbCAP教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用.教学难点：相关

2、定理地应用.教学方法：讲练结合.教学程序：u引言在研究比较复杂地极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限地存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值地计算问题）.这是极限理论地两基本问题.在实际应用中，解决了数列极限地存在性问题之后，即使极限值地计算较为困难，但由于当充分大时，能充分接近其极限a，故可用作为a地近似值.p1EanqFDPw本节将重点讨论极限地存在性问题.为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本地办法是直接从数列本身地特征来作出

3、判断.DXDiTa9E3d从收敛数列地有界性可知：若收敛，则为有界数列；但反之不一定对，即有界不足以保证收敛.例如.但直观看来，若有界，又随n地增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）.RTCrpUDGiT为了说明这一点，先给出具有上述特征地数列一个名称——单调数列.一、单调数列定义　　若数列地各项满足不等式，则称为递增（递减）数列.递增和递减数列统称为单调数列．例如：为递减数列；为递增数列；不是单调数列.二、单调有界定理〔问题〕（1）单调数列一定收

4、敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？一个数列，如果仅是单调地或有界地，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了.此即下面地极限存在地判断方法.5PCzVD7HxA定理（单调有界定理）　在实数系中，有界且单调数列必有极限.3/3个人收集整理仅供参考学习一、应用例１　设其中，证明数列收敛.例２　证明下列数列收敛，并求其极限：例３．证明　　存在.二、柯西收敛准则１．引言单调有界定理只是数列收敛地充分条件，下面给出在实数集中数列收敛地充分必要条件——柯西收敛准则.２．Cauchy收敛准则：定理（Ｃauchy收

5、敛准则）数列收敛地充分必要条件是：对任给地，存在正整数Ｎ，使得当时有.３．说明（１）Ｃauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限地存在性问题.（２）Ｃauchy收敛准则地条件称为Ｃauchy条件，它反映这样地事实：收敛数列各项地值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面地任何两项之差地绝对值可以小于预先给定地任意小正数.或者，形象地说，收敛数列地各项越到后面越是“挤”在一起.jLBHrnAILg（３）Ｃauchy准则把定义中与a地之差换成与之差.其好处在于无需借助数列以外地数a，只要根据数列本身地特征就可

6、以鉴别其（收）敛（发）散性.xHAQX74J0X４．应用例　　证明收敛.例　　证明发散.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有Thisarticleincludessomeparts,includingtext,pictures,anddesign.Copyrightispersonalownership.LDAYtRyKfE3/3个人收集整理仅供参考学习用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相

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