两条异面直线所成的角和距离教师教学案

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1、两条异面直线所成的角和距离教案 北京师大二附中 古永喜 教学目标1．运用类比推理，理解引入有关概念的必要性、重要性；2．理解、掌握有关概念的定义，并会初步应用有关概念的定义来解题．教学重点和难点这节课的重点与难点都是异面直线所成的角和距离这两个概念的引入，和使学生真正地理解、掌握这两个概念．教学设计过程一、引入有关概念的必要性师：我们都知道空间的两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面．这只是“定性”来研究对象，当我们要“定量”来研究对象时就必需要引入一些有关的新概念．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（这时教师拿出两根小棍做平行直线演示并说）例如a∥b，c∥d（如图1），虽然

2、它们都是平行直线，但是它们之间有什么区别呢？生：虽然它们都是平行直线，但是它们的之间的距离不同．师：对，为了区别都是平行直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究平行直线，就必须引入有关“距离”这个概念．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（这时教师又拿出两根小棍做相交直线，并且使其角度各有不同，并说）师：又例如a与b是相交直线，c与d也是相交直线（如图2）．虽然它们都是相交直线，但是它们之间有什么区别呢？残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。生：虽然它们都是相交直线，但是它们的夹角大小不同．师：对，为了区别两相交直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究相交直线就必须引入有关“角”的概念．（这

3、时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其距离的大小演示给学生看，让其观察后，得出相应的结论）师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间的距离不同．（这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其所成角的大小演示给学生看，让其观察后，得出相应的结论）师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间所成的角大小不同．师：对，通过观察我们可以发现为了“定量”的研究异面直线，必须引入异面直线所成的角和异面直线的距离这两个概念．下面我们先来研究异面直线

4、所成的角这个概念的定义．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。二、异面直线所成的角的定义（教师拿出两根小棍做异面直线状，演示给学生看，使其观察如何给异面直线所成的角下定义）师：我们来看这模型，怎样给异面直线a、b所成的角下定义？生：可以把直线a平移与b相交，这时由a平移而得的a′与b相交所成的角，就可以定义为异面直线a与b所成的角．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。师：对，但是为了使这个定义更有一般性，我们给异面直线所成的角做如下的定义．定义 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．（如图3）謀

5、荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。师：由定义来看，O是空间中任意一点，当然我也可以在空间任意取一点O1，过O1分别引a1∥a，b1∥b，那么这时a1和b1所成的锐角与a′和b′所成的锐角是否相等呢？厦礴恳蹒骈時盡继價骚。生：相等，因为有等角定理的推论“如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等”．因为a′∥a，a1∥a可推出a′∥a1，同理可推出b′∥b1，所以可用等角定理的推论．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。师：对，我们在上两节课讲的公理4和等角定理，在某种意义来说都是为给异面直线所成的角下定义做理论上的准备，正因为角的大小与O点的选择无关，所以为

6、了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，所以你们一开始给异面直线所成的角下的定义是对的．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。师：我们如何给两条异面直线互相垂直下定义呢？生：如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．师：设两条异面直线所成的角为θ，问θ角的取值范围？生：θ∈（0°，90°]，半开、半闭区间．师：θ角能否等于0°．生：不能，因为当θ=0°时，异面直线就转化为平行直线．师：对，θ≠0°，否则，量变就转化为质变，异面直线就转化为平行直线了．至于异面直线所成的角规定为锐角或直角，则是为了所成的角是唯一确定的．籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。三、练习例 正方形A

7、BCD－A1B1C1D1．求：（1）A1B与CC1所成的角是多少度？为什么？（2）A1B1与CC1所成的角是多少度？为什么？（3）A1C1与BC所成的角是多少度？为什么？（4）在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱B1B垂直的棱有几条？（如图4）师：请你们依次回答上述的四个问题．生：（1）因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，CC1∥BB1，所以A1B与CC1所成的角为∠B1BA1，而∠B1BA1=45°，所以A1B与CC1所成的角为45°．預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。师：请回答第（2）问．生：因为CC1∥BB1，所以A1B1与CC1所成的角为∠BB1A1，