浅谈构造法在_高等数学_解题中的运用

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1、2009年第3期九江学院学报(总第152期)No,3,2009JournalofjiujiangUniversity(SumN0152)3浅谈构造法在《高等数学》解题中的运用121石富华张姗姗董永红(1九江学院理学院江西九江332005;2宝鸡文理学院数学系陕西宝鸡721013)摘要:文章主要通过介绍在《高等数学》教学中如何运用构造法解题,以激发学生的发散思维训练,使学生在解题过程,选择最佳的解题方法,从而使学生思维得以培养,解题能力得以提高。关键词:构造;解题;创新中图分类号:O17414文献标识码:A文章编号:1673-4580(2009)03-0100-

2、(03)x构造法,就是根据题设条件或结论所具有的e>(x-1)e=xe-e,则e>ex(x>1)通过构造特征、性质,构造出满足条件或结论的数学模型,函数,转移知识,使学生的思维不停留在原来的知借助于该数学模型解决数学问题的方法。历史上识表面上,加深学生对知识的理解,使得知识点掌不少数学家,如高斯、欧拉、拉格朗日等人,都握得更牢固,也提高了知识的运用能力。曾经用构造法成功地解决过数学上的难题。运用2构造公式[1]构造法来解题是培养学生创造意识和创新思维能在文献第一章介绍了两个重要极限(由等力的手段之一,同时对提高学生的解题能力也有价无穷小的学习可知sinx～x,

3、x→0时,也有公式所帮助。下面笔者通过举例来说明通过构造法解x11xlim=1),lim(1+)=e或lim(1+x)x=题训练学生发散思维,达到思想的创新。x→0sinxx→∞xx→01构造函数e这几个公式在极限中就可以看成公式,通过对求函数在我们整个中学数学是占有相当的内容,极限函数变形,添加项来构造公式。学生对于函数的性质也比较熟悉。选择熟悉的内sinαx11例2:求极限①lim②lim()x-3x→0sinβxx→3x-2容来解决《高等数学》中的题目,同时也达到了析1:由于所求极限涉及到正弦函数,所以我们训练学生的思维,增强学生的思维的灵活性、创就往及

4、这两个公式上联想,但所求极限函数与公式新性。x[1]之间有差距,在此就可巧用构造法。例1:证明当x>1时,e>ex.sinαxβxsinαxαxβx分析:这个题目出现在第三章微分中值定理的解:lim=limgg=limlimx→0sinβxx→0sinβxαxβxx→0sinβxx→0第一节,拿到题目首先考虑的是利用中值定理来证sinαxαxα明,而看题目要证不等式与中值定理并不相关,其lim=αxx→0βxβxx实仔细观察不等式e>ex中涉及到两个函数e,e·11析2:()x-3与第二个重要极限形式有点接x,要证两者之间的大小关系,直接证明不好证,可x-2借

5、助拉格朗日中值定理。1xx近,因此可考虑将该函数构造成(1+)这一类形证明:构造一函数f(x)=e,则对Px>1,xf(x)在闭区间[1,x]上满足拉格朗日中值定理的式。xx1条件,且f'(x)=e,因此,由定理应有e-e=(x-1111解:由于()x-3==ξξ111)e,1<ξe1因此,从上式可得ex-x-2(x-2)x-3(1+x-3)x-33基金项目:宝鸡文理学院科研计划项目(ZK0788)收稿日期:2008-10-26作者简介:石富华(1980-),女,九江学院理学院教师,主要从事数学教学与研究工作。2009年第3期九江学院学报·101·

6、111-1则lim()x-3=lim=e=sectdt1∫x→3x-2x→3(1+x-3)x-3[1]在文献的《不定积分》这章的计算中,也涉利用公式∫sectdt=lnsect+tant+c即∫及了好多公式,在解不定积分计算时,有的题目可1dx=lnsect+tant+c为了把sect与tant直接套用公式,而有些题目则需要构造公式。x2+a2例3:求不定积分lnxdxx∫换回成x的函数,可根据tant=作辅助三角形a析:对lnx作被积函数的不定积分,由于不能发现ABC(如图1)。lnx是哪个函数的导数,因此直接借助不定积分基本公式无法解题,第一换元法不易凑微

7、分,第二换uu元道可尝试。令lnx=u则x=e,dx=edu则uuuuu∫lnxdx=∫uedu=ue-∫edu=ue-e+c=xlnx-x+c而该题用分部积分也可以,且此处可巧用构造。然而分部积分要求被积函数是两类函数乘积的形式,但该题被积函数仅是lnx,又知书上一例题图1.辅助三角形ABC∫xlnxdx可用分部积分。即幂函数与对数函数乘积22x+a做被积函数可用分部积分法。而被积函数中又差则有sect=且因为sect+tant>0a00个,此时我们可借助“1”将其看成x。则lnx=x·122则dx=lnx+x+a+c=ln(x+lnx这样就将原被积函数构造

8、成两类函数乘积的形∫22x+aaa式了