构造法在解数学竞赛题中的运用二

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1、2005年第9期11构造法在解数学竞赛题中的运用(二)何念如　　陈　艳(华中师范大学数学与统计学院,430079)　　文[1]已从5个方面介绍了构造法在解

2、ab+2bc+3ac

3、=4=.数学赛题中的运用,本文再介绍4个方面.23×3因此,ab+2bc+3ac=243.1　构造解析几何模型2　构造对应关系例1　已知a、b、c>0,且2a2+ab+b=25,例2　在给定的圆周上取定n(n≥6)个3点,每两点间连一条线段,其中任意三条线段2b2+c=9,在圆内都不共点.求这些线段确定的且顶点3222在圆内的三角形的个数.a+aba+ac+c=16.分

4、析:在圆周上任取6点,顺次间隔两个试求ab+2bc+3ac的值.点连线得到的三条线段总可以在圆内组成一分析:此题直接求解不易.观察方程组右个三角形(任意三条线段在圆内都不共点),边的数是一组勾股数,故可表示成一个直角即确定6个点也就确定一个三角形;反之,在三角形的三边,有两边互相垂直,于是,可建圆内的一个三角形延长它的三边总可以和圆立平面直角坐标系,由直线的垂直关系和点相交于6个点,也就是说一个确定的三角形到直线的距离来求解.和圆上的6个点的一种取法是对应的,也即解:建立如图16个点的取法组成的集合和圆内的三角形组所示的直角坐标系.则成的集合的

5、个数是相等的.因此,可以在这两A-3b,c,个集合之间构造对应关系,把不能直接计算3个数的三角形集合转化成能计算个数的6个B3a,a+2c.点的取法组成的集合,使问题得以解决.22解:设符合题意的所有三角形的集合为有OA=3,图1A,△A1A2A3∈A,延长△A1A2A3的三边交2232a+4ac+4cOB=a+圆周于点B1、B2、B3、4422B4、B5、B6(如图2).设=a+ac+c=4,222从n个给定的点中任AB=5,OA+OB=AB.意取6个点的所有取法故△ABC是直角三角形.6的集合为B,

6、B

7、=Cn,3又直线OA的方程为3by+

8、cx=0,且则6个点B1、B2、B3、图2OA⊥OB,所以,点B到OA的距离为B4、B5、B6就确定了一3a+2c3种取法α∈B.b·+c·a322建立A到B的映射φ:232设△A1A2A3∈A,令b+c312中等数学φ(△A1A2A3)=α.如果S中有3个人,设为L、M、N.若他易看出,对不同的△A1A2A3∈A,按上述们互相认识,则命题为真;否则有2个人互不方法所确定的6点组{B1,B2,B3,B4,B5,相识,设为L、M,连同A有3个人互不相识,B6}也不同,从而,φ(△A1A2A3)也不同,即φ则命题也真.是单射;注:本题还可以用6个点

9、来表示6个人,设取法α∈B,则可按取法α在圆周上互相认识的两点之间用红线相连,互相不认确定按逆时针顺序排列的6个点B1、B2、B3、识的两点用蓝线相连,可以证明这15条线段中必有3条组成同色三角形.这是拉姆赛问B4、B5、B6,联结B1B4、B2B5、B3B6便得到题的另一种表示方式,拉姆赛问题是一个很△A1A2A3∈A,即φ(△A1A2A3)=α,故φ是重要的命题,一些存在性问题都可以利用它满射.得以解决.所以,φ是双射.因此,有

10、A

11、=

12、B

13、=C6.[2]n4　构造问题的辅助命题3　构造抽屉例4　设数列a0,a1,a2,⋯满足条件112例3

14、　世界上任意6个人中至少存在3a0=,ak+1=ak+ak(k=0,1,2,⋯),2n个人或是互不认识或是互相认识.其中n是某个固定的自然数.求证:这就是著名的拉姆赛(Ramsey)问题.11-

15、系,并且1考虑把1-略放大一点儿,由于n问题的结论是存在性的,故可以构造“鸽巢”1n-1nn+1(抽屉).注意到对于6个人中的任何一个人1-=<<,nnn+1n+2A来说,除A以外的5个人可分为两类,一以此构造一个更强的命题:类是与A相识的人,另一类是与A不相识的已知条件与原命题相同.求证:人.如用F来表示其余5个人中与A相识的n+1

16、构造法对式①进行改造得成的集合为F,与A不相识的人组成的集合n+1n为S.根据抽屉原理,F、S中至少有一个集合