浅谈构造图形在解题中的运用

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1、数与形完美的结合——浅谈构造思想在初中数学中的应用构造思想是中学数学中的一种重要解题思想，它贯穿于整个初等数学之中.巧妙的构造可以建立匕知与未知、条件与结论、数与形的体系•体现构造思想的方法众多，而构造图形乂是构造思想的重要部分•因为利用儿何图形能直观地反映我们所研究的量之间的相互关系，所以在解题时，如能借助图形帮助思考，常常会收到事半功倍的效果.一、利用图形来帮助理解数学中的概念、定理、法则、公式图形作为一种儿何结构，它可以将量的关系非常直观的显示出来，甚至超越了推理、论证，而将一切凝聚于一图，

2、使人一目了然.如在新教材（华师人版）八年级教科书中，在学习乘法公式时，利用儿何背景图，让学生通过用式子表示图形面积的运算加深对公式的理解，体会数形结合的数学思想方法.(a+b)(a~b)a2ta1I—u>gbf(a+b)2a2abab-b22ab+b2又如图（1）表示求自然数列前n项的和nn-ln-2…321123…n-2n-ln图（1）Sn=1+2+3+…+nT+n二1/2n(n+1)再如勾股定理是初等几何中最重要的定理，其公式a2+b2=c2可解释为：以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于分

3、别以两直角边为边长的正方形的面积之和.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个和等的直角三角形再加上中间的那个小止方形组成的.每个直幷三幷形的面积为ab/2；中间小正方形边长为b-a,则面积为（b-a）2.于是便可得如下的式了:化简后便可得:4X(ab/2)+(b-a)2=c2勾股圆方图赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用儿何图形的截、害0、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，

4、既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风榕树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展•例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已.二、利用图形来帮助解决数学问题.图形本身具有的量的性质：线有长度，面有面积，体有体积•构造图形可以将原来的一般的抽象的量转化成比较具体的几何：S・1.利用构造图形解决一类儿何证明题有一道流传甚广的习题如下：“已知图（2）屮的ABCD、DCEF、FEGH都是

5、正方形，求证Z1+Z2+Z3二90°.”图（2）图（3）向量等许多方法证明，但都似乎不及图（3）这道题可用儿何、三角、复数、所示的“无字的证明”优美！1.利用构造图形解决一类儿何计算题如求以站,厶2+4沪(其中a,b,c为正数)为三边的三角形的面积.图(4)构造如图(4)所示的长方形ABCE,其中AB=2a,BC=2b,E为AB的中点，F为BC的中点，则三角形DEF的三边长分别为丿4/+/异,肿+沪,J/+4戸,由图可知Sadei?=Sabcd~Sajv-d-Sadi-c-SABEi；=4ab—a

6、b—ab—l/2ab=3/2ab利用构造图形的方法解题，有时比用其他的方法更加直观、简捷、明了，而且不失严谨性.因此常常是一种美的享受，令人冋味无穷！2.利用构造图形证明代数不等式如已0

7、別在AB、AD上取AE二a,AG二b,过E、G分别作AD.AB的平行线，将CD、BC于F、H,EF、GH交于0点，易得0A=^a2+h2,OB=^(1—ci)2+h2,0C二J(1—d)，+(1—/?)2,0D=y/a2+(1—b)2.连接对角线AC、BD得AOBD二VI,由0A+0C2AC,OB+ODNBD得证.3.利用构造图形解方程组2乍1如：已知x、y、z为正数,Q+）汀+xy=1且＜b+z?+yz=3,求x+y+z的值。z2+x2+zx=4分析：注意到三个方程的结构类似余弦定理a2=b2+

8、c2-2bccosA,只要分别令其中的两边夹角为120°即可.构造图形:x2+y2+2-xy-COS120=1y2+z2+2・yz・cosl20=(V3)z2+x2+2-zx-cosl20=2，即xy+yz+zx二2,把方程组相加,得2(x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)乂(x+y+z)2=(x'+y'+z')+2(xy+yz+zx),原方程组即x、y、z>0,x+y+刁二。.当代数关系比较抽象时，若能对它赋予几何意义，从而将代数问题转化为几何问题，使问题从复杂变为简单.事实