【备战】全国高考数学高频考点归类研究不等式问题中“最值法”和“单调性法”应用(真题为例)

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1、高频考点分析不等式问题中“最值法”和“单调性法”的应用典型例题：例1.（2012年福建省文4分）已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是▲．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【答案】(0,8)。【考点】一元二次不等式的解法。【解析】关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则满足Δ＝a2－4×2a<0，解得0

2、P，现给出如下命题：残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。①在[1,3]上的图象是连续不断的；②在[1，]上具有性质P；③若在x＝2处取得最大值1，则＝1，x∈[1,3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有．其中真命题的序号是【】A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】D。【考点】抽象函数及其应用，函数的连续性。【解析】对于命题①，设，显然它在[1,3]上具有性质P，但函数在处是不连续的，命题错误；对于命题②，设，显然它在[1,3]上具有性质P，但在[1，]上不具有性质P，命题错误；酽锕极額閉镇桧猪訣锥。对于命题③

3、，∵在x＝2处取得最大值1，∴在[1，3]上，，即20/20。∴。∴＝1，x∈[1,3]。命题正确；对于命题④，对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有命题正确。故选D。例3.（2012年北京市理5分）已知，若同时满足条件：，则m的取值范围是▲【答案】。【考点】简易逻辑，函数的性质。【解析】由得。∵条件，∴当时，。当时，，不能做到在时，，所以舍去。∵作为二次函数开口只能向下，∴，且此时两个根为。为保证条件①成立，必须。又由条件的限制，可分析得出时，恒负。∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即－4应该比两根中

4、小的那个大。由得，20/20∴当时，，解得交集为空集，舍去。当时，两根同为－2＞－4，舍去。当时，。综上所述，。例4.（2012年北京市文5分）已知。若，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是▲。【解析】（－4，0）。【考点】简易逻辑，函数的性质。【解析】由得。∵，∴当时，。当时，，不能做到在时，，所以舍去。∵作为二次函数开口只能向下，∴，且此时两个根为。为保证条件①成立，必须。∴m的取值范围是（－4，0）。例5.（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为▲．【答案

5、】9。【考点】函数的值域，不等式的解集。【解析】由值域为，当时有，即，∴。20/20∴解得，。∵不等式的解集为，∴，解得。例6.（2012年全国大纲卷理12分）设函数。（1）讨论的单调性；（2）设，求的取值范围。【答案】解：。（1）∵，∴。当时，，在上为单调递增函数；当时，，在上为单调递减函数；当时，由得，由得或；由得。∴当时在和上为为单调递增函数；在上为单调递减函数。（2）由恒成立可得。令，则。当时，，当时，。又，所以，即故当时，有，①当时，，，所以。②当时，20/20。综上可知故所求的取值范围为。【考点】导

6、数在研究函数中的运用，三角函数的有界性，。【解析】（1）利用三角函数的有界性，求解单调区间。（2）运用构造函数的思想，证明不等式。关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例7.（2012年全国课标卷理12分）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。【答案】解：（1）∵，∴。令得，。∴。∴，得。∴的解析式为。设，则。∴在上单调递增。又∵时，，单调递增；时，，单调递减。∴的单调区间为：单调递增区间为，单调递减区间为。（2）∵，∴。令得。①

7、当时，，∴在上单调递增。但时，与矛盾。20/20②当时，由得；由得。∴当时，∴。令；则。由得；由得。∴当时，∴当时，的最大值为。【考点】函数和导函数的性质。【解析】（1）由求出和即可得到的解析式，根据导数的性质求出单调区间。（2）由和，表示出，根据导函数的性质求解。例8.（2012年全国课标卷文5分）设函数(Ⅰ)求的单调区间(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，，求k的最大值【答案】解：(Ｉ)f(x)的的定义域为，。若，则，∴在上单调递增。若，则当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增。(Ⅱ)∵a=1，∴

8、。∴当x>0时，，它等价于。令，则。20/20由(Ｉ)知，函数在上单调递增。∵，，∴在上存在唯一的零点。∴在上存在唯一的零点，设此零点为，则。当时，；当时，。[∴在上的最小值为。又∵，即，∴。因此，即整数k的最大值为2。【考点】函数的单调性质，导数的应用。【解析】(Ｉ)分和讨论的单调区间即可。(Ⅱ)由于当x>0时，等价于，令，求出导数，根据函数的零点情况求出整数k的最大值。例9.（20