【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 应用线性规划求最值(真题为例)

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1、应用线性规划求最值典型例题：例1.（2012年天津市理5分）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是▲.【答案】。【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点。【分析】函数，当时，，当时，，综上函数。作出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图，此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是。例2.（2012年陕西省理5分）设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为▲.【答案】2。【考点】利用导数研究曲线

2、上某点切线方程，简单线性规划。【解析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可：8∵，，∴曲线及该曲线在点处的切线方程为。∴由轴和曲线及围成的封闭区域为三角形。在点处取得最大值2。例3.（2012年四川省理5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天

3、生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是【】A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元【答案】C。【考点】线性规划的应用。【解析】]设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由已知，得Z=300X+400Y，且画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=这是随Z变化的一族平行直线，解方程组得，即A（4,4）。∴。故选C。例4.（2012年山东省理5分）若满足约束条件：，则目标函数的取值范围是【】ABCD8【答案】A。【考点】线性规划。【解析】如图，作出可行域，直

4、线，将直线平移至点（2，0）处有最大值：，将直线平移至点处有最小值：。∴目标函数的取值范围是。故选A。例5.（2012年广东省理5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为【　　】A．12B．11C．3D．【答案】B。【考点】简单线性规划。【解析】如图，作出变量x，y约束条件的可行域，解得最优解（3,2）当时，目标函数z=3x+y的最大值为。故选B。例6.（2012年江西省理5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/

5、亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为【】A．50，0B．30，20C．20，30D．0，508【答案】B。【考点】建模的思想方法，线性规划知识在实际问题中的应用。【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为.线性约束条件为 ，即。如图，作出不等式组表示的可行域,易求得点。平移直线，可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且（万元）。故选B。例7.（2012年福建省理5分）

6、若函数图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为【】A.B.1C.D．2【答案】B。【考点】线性规划。【解析】约束条件确定的区域为如图阴影部分，即△ABC的边与其内部区域，分析可得函数与边界直线交与点（1，2），若函数图象上存在点（x，y）满足约束条件，即图象上存在点在阴影部分内部，则必有m≤1，即实数m的最大值为1。故选B。8例8.（2012年辽宁省理5分）设变量x，y满足则的最大值为【】(A)20(B)35(C)45(D)55【答案】D。【考点】简单线性规划问题。【解析】如图，画出可行域：根据图形可知当x=5,y=

7、15时2x+3y最大，最大值为55。故选D。例9.（2012年全国大纲卷理5分）若满足约束条件，则的最小值为▲。【答案】。【考点】线性规划。【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点（3，0）时，目标函数最大，当目标函数过点（0，1）时最小。8例10.（2012年全国课标卷理5分）设满足约束条件：；则的取值范围为▲【答案】。【考点】简单线性规划。【解析】求的取值范围，则求出在约束条件下的最大值和最小值即可。作图，可知约束条件对应四边形边边际及内的区域：。当时，取得最大值3；当时，取得最小值。∴的取值

8、范围为。例11..（2012年安徽省理5分）若满足约束条件：；则的取值范围为▲【答案】。【考点】简单线性规划。【解析】求的取值范围，则求出的最大值和最小值即可。作图，可知约束条件对应边际及内的区域：。当时，取得最大值0；当时，取得最小值。8∴的取值范围为。例12