备战2014高考数学 高频考点归类分析(真题为例)：动点轨迹方程

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1、动点轨迹方程典型例题：例1.（2012年全国大纲卷理5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为【】A．B．C．D．【答案】C。【考点】椭圆的方程以及性质的运用。【解析】通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数，从而得到椭圆的方程：∵，∴。∵该椭圆的一条准线方程为，∴该椭圆的焦点在轴上且，∴。∴。故选C。例2.（2012年山东省理5分）已知椭圆C：的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为【】ABCD【答案】D。【考点】椭圆和双曲线性质的应用。【解

2、析】∵双曲线的渐近线方程为，代入可得。又∵根据椭圆对称性质，知所构成的四边形是正方形，∴，即①。又由椭圆的离心率为可得②。联立①②，解得。∴椭圆方程为。故选D。例3.（2012年山东省文5分）已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为【】A　B　　C　　D[来源:Z_xx_k.Com]【答案】D。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】∵抛物线的焦点坐标为，双曲线：的渐近线为，不妨取，即。∴抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，即。∴。又∵双曲线的离心率为，∴，即。∴抛物线的方程为。故选D。例4.

3、（2012年湖南省理5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为【】A．B.C.D.#ww.zz&st^ep.com@]【答案】A。【考点】双曲线的方程、双曲线的渐近线方程。【解析】设双曲线C：的半焦距为，则。∵C的渐近线为，点P（2,1）在C的渐近线上，∴，即。又∵，∴，∴C的方程为。故选A。例5.（2012年陕西省理5分）下图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽▲米.【答案】。【考点】抛物线的应用。【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，　　　　∴∵

4、当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，∴抛物线过点（2，－2，）.代入得，，即。∴抛物线方程为。∴当时，，∴水位下降1米后，水面宽米。例6.（2012年四川省文12分）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。【答案】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），∵当x=－1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在；∴，MA的斜率为，MB的斜率为。由题意，有·=4，化简可得，。∴轨迹的方程为（）。（Ⅱ）由消去y，可得(﹡)对于方程

5、(﹡)，其判别式，而当1或－1为方程（*）的根时，m的值为－1或1，结合题设可知，，且m≠1。设的坐标分别为，,则为方程（*）的两根。∵，∴。∴。∴。此时，且。∴且。∴且。综上所述，的取值范围为。【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法。【解析】（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），由当x=－1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在，得到，由直线的斜率之积为4列式即可得到轨迹的方程。（Ⅱ）直线与联立，消元可得(﹡)，利用(﹡)有两根且，且m≠1。设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用，即可确定的取值范围。例7.（2012年广东省文

6、14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆和抛物线相切，求直线的方程．【答案】解：（1）∵椭圆的左焦点为，∴。将点代入椭圆，得，即。∴。∴椭圆的方程为。（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，联立，消去并整理得。∵直线与椭圆相切，∴，[来源:Zxxk.Com]整理得①联立，消去并整理得。∵直线与抛物线相切，∴，整理得②联立①②，解得或[来源:Z§xx§k.Com]∴直线的方程为或。【考点】椭圆的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，一元二次方程根的判

7、别式的应用，待定系数法。【解析】（1）由椭圆的左焦点为可得；由点在上，根据曲线上点的坐标满足方程的关系，将代入椭圆的方程可得。从而可求得。得到椭圆的方程。[来源:Zxxk.Com]（2）应用待定系数法，设直线的方程为。将直线的方程与与椭圆和抛物线的方程分别联立，消去，分别得到关于的一元二次方程，根据直线与椭圆和抛物线相切，可由得关于和的方程组，解之即可求得直线的方程。例8.（2012年江西省文13分）已知三点O（0，0），A（－2，1），B（2，1），曲线C上任意一点满足（1）求曲线C的方程；（2）点是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线

8、为l，点P的坐标是（0，－1），l与分别交于点D，E，求与的面积之比。【答案】解：（1）由，，得

9、，。由已知得，化简得曲线C的方程：。（2）直线的方程分别为，曲线C在点处的切线方程为，且与y轴的交点F（0，