备战高考数学 高频考点归类分析(真题为例):函数的零点 .pdf

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1、函数的零点问题典型例题:3例1.(2012年全国大纲卷理5分)已知函数y=x3xc的图像与轴恰有两个公共点,x则c=【】A.2或2B.9或3C.1或1D.3或1【答案】A[来源:学科网]【考点】导数的应用。【解析】若函数图像与轴有两个x不同的交点,则需要满足其中一个为零即可。因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可知x只有在极大值点或者极小值点有一点在轴时满足要求(如图所示)。x32∵y=x3xc,∴y'=3x3=3x1x1。∴当x=1时,函数取得极值。由yx=1=0或yx=-1=0可得c2=0或c2=0,即c=2。故选A。1x1例2

2、.(2012年北京市文5分)函数fx=x2的零点个数为【】2A.0B.1C.2D.3【答案】B。【考点】幂函数和指数函数的图象。1x1x11【解析】函数fx=x2的零点个数就是x2=0(即221x1x11x2=)解的个数,即函数gx=x2和hx=的交点个221x1数。如图,作出图象,即可得到二者交点是1个。所以函数fx=x2的零点个数为21。故选B。x3例3.(2012年天津市理5分)函数f(x)=2+x2在区间(0,1)内的零点个数是【】(A)0 (B)1   (C)2   (D)3[来源:学科

3、网]【答案】B。【考点】函数的零点的概念,函数的单调性,导数的应用。x2x3【分析】∵f'(x)=2ln2+3x>0,∴函数f(x)=2+x2在定义域内单调递增。0313又∵f(0)=2+02=1<0,f(1)=2+12=1>0。x3∴函数f(x)=2+x2在区间(0,1)内有唯一的零点。故选B。例4.(2012年辽宁省理5分)设函数f(x)(xR)满足f(x)=f(x),f(x)=f(2x),且当13x[0,1]时,f(x)=x3.又函数g(x)=

4、xcos(x)

5、,则函数h(x)=g(x)-f(x)在[,]上的零点个数22为【】(A)5(B)6(C)7(D)8【答案】

6、B。[来源:学科网]【考点】函数的奇偶性、对称性、函数的零点。【解析】因为当x[0,1]时,f(x)=x3.所以当x[1,2]时,(2-x)[0,1],f(x)=f(2x)=(2x)3,113当x[0,]时,g(x)=xcos(x);当x[,]时,g(x)=xcos(x),注意到函数f(x)、g(x)22213都是偶函数,且f(0)=g(0),f(1)=g(1),g()g()0,作出函数f(x)、g(x)的大致图221113象,函数h(x)除了0、1这两个零点之外,分别在区间[,0]、[0,]、[,1]、[1,]上各有一2222个零点,共有6个零点,故选B。3π例7.

7、(2012年福建省文14分)已知函数f(x)=axsinx-(a∈R),且在0,上的最大值为2[2]π-3.2(I)求函数f(x)的解析式;(II)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.【答案】解:(I)由已知f′(x)=a(sinx+xcosx),π对于任意x∈(0,,有sinx+xcosx>0。2)3当a=0时,f(x)=-,不合题意;2ππ当a<0,x∈(0,时,f′(x)<0,从而f(x)在0,内单调递减,2)(2)ππ又f(x)在[0,上的图象是连续不断的,故f(x)在0,上的最大值为f(0)2][2]3=-,不合题意;2ππ当a>0,x∈(0,时,f′(x)>0,从

8、而f(x)在0,内单调递增,又f(x)2)(2)ππππ3π-3在[0,上的图象是连续不断的,故f(x)在0,上的最大值为f,即a-=,2][2](2)222解得a=1。[来源:学.科.网Z.X.X.K]3综上所述,函数f(x)的解析式为f(x)=xsinx-。2(II)f(x)在(0,π)内有且只有两个零点。证明如下:33ππ-3由(I)知,f(x)=xsinx-,从而有f(0)=-<0,f=>0。22(2)2ππ又f(x)在[0,上的图象是连续不断的,所以f(x)在0,内至少存在一个2](2)零点。ππ又由(I)知f(x)在[0,上单调递增,故f(x)在0,内有且仅有一个零点。2](2)π

9、当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx.2ππ由g(=1>0,g(π)=-π<0,且g(x)在,π]上的图象是连续不断的,2)[2π故存在m∈(,π),使得g(m)=0。2ππ由g′(x)=2cosx-xsinx,知x∈(,π)时,有g′(x)<0,从而g(x)在(,π)内22单调递减。ππ当x∈(,m)时,g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0,从而f(x)在(,m)内

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