华理高数答案第4章

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1、第4章（之1）第18次作业教学内容：§4.1.1函数的单调性§4.1.2函数的极值1．填空题1**（1）若f(x)asinxsin3x在x处有极值,则a__________________33答：2*（2）yxx的单调减少区间是____________________1答：0，(写开区间也可以)42．选择题***（1）设f(x),g(x)在区间[a,b]上可导,且f(x)g(x),则在(a,b)内上有（）(A)f(x)g(x)0(B)f(x)g(x)0(C)f(x)g(x)f(b)g(b)(D)f(

2、x)g(x)f(a)g(a)答：(D)32***（2）已知f(x)xaxbx在x1处有极值2,则常数a,b之值为（）(A)a2,b1(B)a1,b1(C)a0,b3(D)a0,b2答(C)***（3）函数yf(x)在点xx处连续且取得极大值则f(x)在x处必有()00(A)f(x)0(B)f(x)000(C)f(x)0且f(x)0(D)f(x)0或不存在000答(D)3．求下列函数的单调区间:26**（1）求函数yx的单调区间x32(x3)解：函数在(,0)及(0,

3、)内连续，y，2x3解得驻点　　x3，x(,0)(0,33)33((33,))y'－－0+y↓↓↑4933函数的单调增区间为(3,)，单调减区间为(,0),(0,3).**（2）求函数　y(x5)23(x1)2的单调区间18(x5)(x)2解：函数在(，)内连续　yx1，33x11令　y0得　x5，x，而当x1时,y不存在，122x(,1)-11115(5,)(1,)(，5)222y'－x＋0－0＋y↓↑↓↑函数的单调增区间为[1,1],(5,)，单调减区间为(

4、,1),[1,5]).224．证明下列不等式1**（1）证明当x1时，2x3。x111证明：令f(x)2x3，f(x)，2xxxf(x)在1，上连续当x1时　　f(x)0　　故f(x)在1，上单调增1当x1时恒有f(x)f(1)0，　　即2x3.xba***（2）当bae时，ab；解：设fxxlnaalnxxa，axlnaafxlna，aelna1，xx当xa时，fx0，bae时，fbfa，bablnaalnb0，

5、ab.**（3）当0x时，tanxsinx2x.2解：设fxtanxsinx2x，2fxsecxcosx23222341cosx2cosx1cosxcosxcosx00x22cosxcosx250fxf00，即tanxsinx2x.5．求下列函数的极值2**（1）fxx1x3（注：本题说明讨论极值时不可忽略导数不存在的点。）5221x5233解：fxx3x3，133x32令fx0，得驻点x。及不可导点为x0。52

6、当x0时，f0，当0x时，f0，52当x时，f0。5x0时，fx取极大值0，22323x时，fx取极小值.555**（2）fx2cos2x4cosx.解：fx22sin2x4sinx，令fx0，42sinxcosx4sinx0，1sinx0或cosx，2xn，x2nnZ，4又fx42cos2x4cosx，而fn0，f2n0，4极大值f2n42，f2n

7、24；极小值f2n22.4n1****6．设fx在x的某邻域内具有n阶连续导数，且fxfx0，而000nfx0.试证明：0①当n为奇数时，fx不是极值；0n②当n为偶数时，若fx0（或0），则fx是极大值（或极小值）。00证：fx在x的某邻域内具有n阶连续导数，由n1阶泰勒公式，051fn1xn0n1fnfxfxfxxxxxxx00000(n1)!n!nfnfx

8、xx，在x与x之间.000n!n不妨设fx0，根据连续函数的局部保号性定理，可知存在x点的某个邻域N(x)，000n当x在该邻域内时