华理高数答案第8章

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1、.第8章（之1）第37次作业教学内容：§8.2.1无穷级数的基本概念§8.2.2收敛级数的基本性质1．选择题：*（1）若级数的部分和，其一般项是（）（A）；（B）；（C）；（D）．答：(D)*（2）设级数收敛，其和为，则级数收敛于（）（A）；（B）；（C）；（D）．答：（B）*（3）若级数收敛，其和，则下述结论成立的是（）（A）收敛；（B）收敛；（C）收敛；（D）收敛．答：（C）**（4）指出下列命题中之正确者为（）（A）若，则收敛；（B）若，则收敛；（C）若收敛，则；（D）若发散，则．答：（C）*2．若，则级数之和为______．134答：**3．设单调减少，且收敛

2、于0，问级数是否收敛？答：不一定收敛。例如都单调减少而收敛于0，但发散，而级数收敛．4．利用定义判断下列级数的敛散性，若收敛则求其和：*（1）；解：级数的部分和所以，故级数为发散．*（2）．解：级数的一般项级数部分和所以，此即级数收敛，且其和为．1345．判断下列级数的敛散性：**（1）；解：，因故，所以发散．**（2）；解：记，由于，故发散．**（3）．解：发散．**6．求级数之和．解：已知又，可得的部分和从而，因此原级数收敛，且134．第8章（之2）第38次作业教学内容：§8.2.3正项级数的性质及其敛散性的判敛法1．选择题：*（1）下列级数中，发散的是（）（A）

3、；（B）；（C）；（D）．答：（B）*（2）下列级数中，收敛的是（）（A）；（B）；（C）；（D）．答：（D）*（3）下列级数中，发散的是（）（A）；（B）；（C）；（D）．134答：（D）2.判断下列级数的敛散性：*（1）；解：由于，而发散，所以发散．*（2）；解：由于，故由比值判断法知收敛．*（3）．解：，由根值判断法知级数收敛．**（4）；解：由比值判别法134可见当时，级数收敛；当时，级数发散．*（5）；解：记，则,而收敛，因此收敛．*（6）；解一：,而收敛,故原级数收敛．解二：,由于，故而级数收敛．**（7）；解：记，则，而发散，故所论级数发散．**（8）；

4、解：由于，而收敛，134所以原级数也收敛．**（9）；解：，而发散，故级数也发散．**（10）；解：所以又发散,故发散．***3．利用级数理论，证明时，是比高阶的无穷小．证明：先判断级数的敛散性，由于,所以，级数收敛，于是有,上式又可变为,故当时，是比高阶的无穷小．134***4．将方程的正根按递增次序排列，得数列，试证明级数收敛，而级数却发散．证明：设，，则在上严格单调，又因，，则在内有且仅有一个实根．又因为上的一个根，所以最小正根在上，从而必有，所以，而收敛，故收敛。又，而发散，故发散．***5．若数列为单增有界的正项数列，试证明级数收敛．证明：首先我们知道级数收

5、敛，事实上，级数的部分和为，所以以上结论显然成立。设的界为，即任何有，134由于故有收敛．第8章（之3）第39次作业教学内容：§8.2.4任意项级数的绝对收敛和条件收敛§8.2.5交错级数§8.3.1函数项级数的一般概念1．选择题：*（1）若级数收敛，则（）（A）收敛；（B）收敛；（C）收敛；（D）收敛．答：（A）*（2）当级数收敛时，级数（）（A）必绝对收敛；（B）必发散；（C）部分和序列有界；（D）可能收敛也可能发散．答：（D）*（3）若级数和都发散，则下列级数中必发散的是（）（A）；（B）；（C）；（D）．答：（D）*（4）设为常数，则级数（）（A）绝对收敛；（

6、B）条件收敛；134（C）发散；（D）敛散性与取值有关．答：（C）2.判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散？**（1）；解：记则故原级数绝对收敛．**（2）；解：记，因为，且，所以原级数收敛．由于，故发散，因此原级数条件收敛．**（3）；解：设，时，，而当时，为单调递减数列，且，故级数收敛．另一方面，而发散。134综合以上讨论知，级数条件收敛．**（4）；解：记，则，当时，，即单调递减．故当时，数列单调递减。且，所以级数收敛。显见此级数不绝对收敛，故级数条件收敛。3．***（1）若是收敛的正项级数，试证一定收敛。证明：因为为收敛的正项级数，则，所以，当时，有，则，

7、从而由比较判别法知收敛。***（2）若级数收敛，一定收敛吗？解：不一定。反例收敛，但发散。***（3）若级数收敛，一定收敛吗？解：不一定。反例收敛(莱布尼兹型级数)，但发散。134***（4）设都是收敛的正项级数，试证明级数必收敛。证明：由于，且都是收敛的正项级数，从而收敛，故级数必收敛。***4．设级数收敛，证明绝对收敛。证明：由假设，有,于是,而收敛，因此绝对收敛。***5．求函数项级数的收敛域.解:级数可写成,这是一个的级数,其收敛的充要条件是,即,这就是给定函数项级数的收敛域.第8章（之4）第40次作业教学内容：§8.3.2幂级数及其收敛域§