华理高数答案第9章

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1、第9章（之1）（总第44次）教学内容:§9.1微分方程基本概念37*1．微分方程2(y)9yy5xy的阶数是（）（A）3；（B）4；（C）6；（D）7．答案（A）解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．*2．下列函数中的C、、及k都是任意常数，这些函数中是微分方程y4y0的通解的函数是（）（A）y3Ccos2x(1229C)sin2x；（B）yCcos2x(1sin2x)；22（C）ykCcos2x1kCsin2x；（D）yCcos(2x)．答案（D）解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．（A）中的函数只有一个任

2、意常数C；（B）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C及k，但当令CkC时，函数就变成了2yCcos2x1Csin2x，实质上只有一个任意常数；（D）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．xx*3．在曲线族ycece中，求出与直线yx相切于坐标原点的曲线．12解根据题意条件可归结出条件y(0)0,y(0)1，xxxx由ycece，ycece，可得cc0,cc1，12121212111xx故c,c，这样就得到所求曲线为y(ee)，即ys

3、inhx．122222dydy1y02x32*4．证明：函数y3e2sinx是初值问题dxdx的解．32dyy0,1x0dxx0113x3x3证明ye2sinxe2cosx，3221113x3x3ye2sinxe2cosx，322代入方程得yyy0，此外y(0)0，y(0)1，12x3故y3e2sinx是初始值问题的解．32x22xtxxx*5．验证yeedtCe（其中C为任意常数）是方程yye的通解．0x2222xtxxxxxxx证明yeedteeCeye，即y

4、ye，说明函数确实0给定方程的解．x2xtx另一方面函数yeedtCe含有一任意常数C，所以它是方程的通解．0**6．求以下列函数为通解的微分方程：3（1）yCx1；332解将等式yCx1改写为yCx1，再在其两边同时对x求导，得3yyC，23代入上式，即可得到所求之微分方程为3xyyy1．C2（2）yCx．1x解因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x求两次导数，得C2C22yC，y．123xx从以上三个式子中消去任意常数C和C，即可得到所求之微分方程为122xyxyy

5、0．2**7．建立共焦抛物线族y4C(xC)（其中C为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．2解在方程y4C(xC)两边对x求导有2yy4C，从这两式中消去常数所求方程为yy(2xyy)．2**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线yy(x)上任一点处的法线都经过坐标原点．dy解任取yy(x)上的点(x,y)，曲线在该点处的切线斜率为y=．dx11所以过点(x,y)的法线斜率为，法线方程为Yy=(Xx)，yy1因为法线过原点，所以0y(0x)从而可得所求微分方程为xyy

6、0．y第9章（之2）（总第45次）教学内容：§9.2.1可分离变量的方程；§9.2.2一阶线性方程**1．求下列微分方程的通解：x(1y)（1）y；21xdyxdxdyxdx解：分离变量，两边积分，221y1x1y1x12C得ln(1y)ln(1x)lnC，即y1．21x2x2xy2（2）ye；2yy22x解：分离变量2yedyxedx，两边积分就得到了通解y212x2x12x12xe(xeedx)(xee)c．222yy（3）(2x1)ey2e40．yedydx1y11解：，ln(e2)ln(2

7、x1)lnC，y2e42x1222y即(e2)(2x1)C．3**2．试用两种不同的解法求微分方程y1xyxy的通解．解法一（可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易．dydy分离变量，y(1x)(1y)，(1x)dx，并积分(1x)dx1y1y121xx得ln(1y)xx2c，所求通解为y1ce2．2解法二（线性方程的常数变易法）