华理高数答案第15章

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1、第15章（之1）（总第81次）教学内容：§15.1引言，§15.2周期函数的傅立叶级数展开（周期为2π）**1．已知以2为周期的函数f(x)的傅里叶系数为an,bn，并设g(x)f(x)，则函数g(x)的傅里叶系数n，n必满足关系式（）(A)nan，nbn；(B)nan，nbn；(C)nan，nbn；(D)nan，nbn．答案（D）．a0解因为f(x)(ancosnxbnsinnx)，所以g(x)f(x)2n1aa00[ancos(nx)bnsin(nx)](ancosnxbn

2、sinnx)．2n12n1可知正确的选项为（D）．0,x0,**2．设函数f(x)的周期为2，在区间[,]上表达式为f(x)sin2x,0x.a0则其傅立叶级数(ancosnxbnsinnx)中的系数bn____________．2n11答案b，b0(n2)．2n211解bsin2xsinnxdx[cos(n2)xcos(n2)x]dxn0021sin(n2)xsin(n2)x0，n2，2n2n20111bsin2xsin2xdx(1cos4x)dx．20

3、022注本来傅立叶系数有统一的公式，不用一个一个系数分别计算，但这里在使用统一公式计算b时，遇到了分母为n2的情况，所以b必须得另行计算．n2128**3．若区间[a,b]上的正交函数系中每个函数之平方在区间[a,b]上的积分值均为1，就称之为[a,b]上的标准（或规范）正交函数系．试证：1111212,cosx,sinx,cosx,sinx,，2lllllllll1n1ncosx,sinx,llll是区间[l,l]上的标准正交函数系．ll11k1lk证：cosxdxsinx0，l2lll2lkllll11k1lk

4、sinxdx()cosx0，l2lll2lklll1n1m11lmnnmlsinxcosxdxl[sinxsinx]dx0，lllll2ll当nm时l1n1m1lnmnmlcosxcosxdxlcosxcosxdx0llll2llll1n1m1lnmnmsinxsinxdx[cosxcosx]dx0lllll2lll此函数系是正交函数系．l11又dx1，l2l2l2l1nl12nlcosxlcosxdx2llll2n1cosx

5、1ll1ll2n2ndx1cosxd(x)1ll22ll2nll2n21cosxl1n1l2n1llsinxdxsinxdxdx1llllllll2此正交函数系是标准正交函数系．129**4.f(x)是以2为周期的周期函数，根据它在一个周期(0,2]上的定义式1,0x,fx0,x2,将它展开成Fourier级数．解由Fourier级数系数的计算公式，可得121121afxdxdx1，af(x)cosnxdxcosnxdx0，000n00121

6、cosnxbf(x)sinnxdxsinnxdxn00n0n0,n2,4,6,,1(1)2n,n1,3,5,,n12sin3xsin3xsin3x所以f(x)sinx,0x,x2．2333**5.f(x)是以2为周期的周期函数，根据它在一个周期,上的定义式0,x0,fxsinx,0x,将它展开成Fourier级数．解：由Fourier级数系数的计算公式，a0,当n0,2,3,4,5,时，有11asinxcosnxdxn0n

7、11n11cos(n1)xcos(n1)x11sinn1xsinn1xdx，202n1n1n2102所以，a0,a．2n12n24n111又bsinxsinxdx,1021bsinxsinnxdx0,n2,3,n0由fx满足Fourier级数收敛于fx的条件，故对x,,1sinx2cos2nxfx2．2n14n1130***6．已知以2为周期的