数理方法第二章热传导方程习题答案1new

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1、第二章热传导方程§1热传导方程及其定解问题的提1.一均匀细杆直径为l，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dQk1(uu1)dsdt又假设杆的密度为，比热为c，热传导系数为k，试导出此时温度u满足的方程。2l解：引坐标系：以杆的对称轴为x轴，此时杆为温度uu(x,t)。记杆的截面面积为S。由假设，在任意时刻t到tt内流入4截面坐标为x到xx一小段细杆的热量为uu2udQ1kxxstkxstk2xsxtxxx杆表面和周围介质发生

2、热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t到tt在截面为x到xx一小段中产生的热量为4k1dQ2k1uu1lxtuu1sxtl又在时刻t到tt在截面为x到xx这一小段内由于温度变化所需的热量为udQ3cux,ttux,tsxctsxtt由热量守恒原理得：u2u4k1ctsxtk2xsxtuu1sxttxl消去sxt，再令x0，t0得精确的关系：u2u4k1ckuu1

3、tx2luk2u4k2u4k121或2uu1a2uu1tcxclxcl2k其中ac2.试直接推导扩散过程所满足的微分方程。u解：在扩散介质中任取一闭曲面s，其包围的区域为，则从时刻t到t流入此闭曲面的溶质，由dMDdsdt，其中D为12n扩散系数，得t2uMDdsdtnts1浓度由u变到u所需之溶质为2t2t2uuMCux,y,z,tux,y,z,tdxdydzCdtdvCdvdt121tt

4、t1t1两者应该相等，由奥、高公式得：t2t2uuuuMDDDdvdtM1Cdvdtt1xxyyzzt1t其中C叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形C1。由于,t,t的任意性即得方程：12uuuuCDDDtxxyyzz3.砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以Qt表

5、示它在单位体dQ积中所储的热量，Q为初始时刻所储的热量，则Q，其中为常数。又假设砼的比热为c，密度为，热传导系数为k，求0dt它在浇后温度u满足的方程。dQt解：可将水化热视为一热源。由Q及QQ得QtQe。由假设，放热速度为t000dttQe0它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得222u2uuuQ0t2kaea222txyzcc264.设一均匀的导线处在周围为常数温度u的介质中，试

6、证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程022ukuk1P0.24iruu0tcxcc2其中i及r分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，表示横截面面积，而k表示导线对于介质的热交换系数。解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为u2u2afx,ttx22k其中a,fx,tFx,t/c,Fx,t为单位体积单位时间所产生的热量。c22r2r由常电流i所产生的Fx,t为0.24ir/

7、。因为单位长度的电阻为，因此电流i作功为i12乘上功热当量得单位长度产生的热量为0.24ir/其中0.24为功热当量。22因此单位体积时间所产生的热量为0.24ir/由常温度的热交换所产生的(视为“被动”的热源)，从本节第一题看出为4k1uu0l2pl4其中l为细杆直径，故有l/，代入得4lk1pF2x,tuu0u2u2因热源可迭加，故有Fx,tF1x,tF2x,t。将所得代入a2fx,t即得所求：tx22ukuk1P0.24ir

8、uu0tcx2cc245*.设物体表面的绝对温度为u，此时它向外界辐射出去的热量依斯忒---波耳兹曼(Stefan-Boltzman)定律正比于u，即4dQudsdt今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已知函数f(x,y,z,t),问此时该物体热传§导问题的边界条件应如何叙述？44解：由假设，边界只有辐射的热量交换，辐射