数理方程3热传导方程及偏微分化简.pdf

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1、《数理方程》3Î三维热传导方程Î热传导问题三类边界条件ÎLaplace方程与Laplace算子Î微分方程(化简)分类方法1/16高斯公式(曲面积分与三重积分的联系)取P=u,Q=u,R=u,则P=u,Q=u,R=uxyzxxxyyyzzzudydz+udzdx+udxdy=[u+u+u]dxdydz∫∫xyz∫∫∫xxyyzzSVudydz+udzdx+udxdyxyz∂u=[ucosα+ucosβ+ucosγ]ds=dsxyz∂n∂uÎds=[u+u+u]dxdydz∫∫∫∫∫xxyyzz∂nSV2/16付里叶热传导定律:在dt时段内,通过面积元ds流入体积元的热量dQ与沿面积元外

2、法线方向的∂udx温度变化率成正比,也与ds和dtxx+dx∂n成正比∂udQ=kdsdt1∂n其中,k是导热系数,u(x,y,z,t)是导热体中的温度通过曲面进入导热体的总热量:t2∂uQ=[kds]dt1∫∫∫t1∂nS∂u其中:=ucosα+ucosβ+ucosγxyz∂n3/16通过曲面进入导热体的总热量:t2Q=[k[u+u+u]dxdydz]dt1∫∫∫∫xxyyzzt1V温度升高所需热量:Q=cρ[u(x,y,z,t)−u(x,y,z,t)]dxdydz2∫∫∫21Vt2∂ut2∂u=∫∫∫cρ[∫dt]dxdydz=∫[∫∫∫cρdxdydz]dtt1∂tt1∂tVV

3、∂uQ1=Q2Îk[uxx+uyy+uzz]=cρ∂t2∂u记a2=k/(cρ)Îa[u+u+u]=xxyyzz∂t4/16三维热传导方程:u=a2[u+u+u]txxyyzzu=u(x,y,z,t)二维热传导方程:u=a2[u+u]txxyyu=u(x,y,t)一维热传导方程:u=a2uu=u(x,t)txx热传导方程的初边值问题(第一类边界条件)2⎧u=au,0

4、界条件:uS=α(x,y,z,t)(已知边界温度)∂uII.第二类边界条件:=β(x,y,z,t)∂nS(边界上有热流进入)∂uIII.第三类边界条件:[+σu]=γ(x,y,z,t)∂nS(边界上有热交换)6/16L长的细杆边界上有热流进、出u(x,t)∂udQ=−kdsdtOL∂n∂u∂uÎq=−k这里为沿热流方向的方向导数∂n∂n1.在x=L处有热流q流出u

5、=–q/kxx=L2.在x=L处有热流q流入u

6、=q/kxx=L3.在x=0处有热流q流出u

7、=q/kxx=L4.在x=0处有热流q流入u

8、=–q/kxx=L∂u边界上有热交换−k

9、x=L=k1(u

10、x=L−u1)∂x∂u

11、k

12、=k(u

13、−u)x=01x=01∂x7/16拉普拉斯方程与拉普拉斯算子三维热传导方程:u=a2[u+u+u]txxyyzz热传导问题中,如果物体内部没有热源,物体外围温度不随时间变化,经过相当长时间以后,物体内部的温度将不再改变,趋于稳定状态。u=0Îu+u+u=0(Laplace方程)txxyyzz222∂u∂u∂u记∆u=++222∂x∂y∂z222∂∂∂则有∆=++(Laplace算子)222∂x∂y∂z8/16正方形区域上第一边值问题y⎧u+u=0,0

14、(x,y)=sinπyshπ9/16方程通解举例(未知函数为二元函数)∂u1.=0Îu(x,y)=f(y)∂x∂u2.=0Îu(x,y)=g(x)∂y2∂u3.=0Îu(x,y)=f(x)+g(y)∂x∂y4.∂u∂u+a=0Îu(x,t)=f(x–at)∂t∂x∂u∂u验证:=f′(x−at)=−af′(x−at)∂x∂t∂u∂uÎ+a=−af′(x−at)+af′(x−at)=0∂t∂x10/165.∂u∂u−a=0Îu(x,t)=g(x+at)∂t∂x22∂u2∂u∂2∂26.−a=0(−a2)u=022∂t∂x∂t2∂x222∂2∂∂∂∂∂−a=(+a)(−a)22∂t∂x∂

15、t∂x∂t∂xÎu(x,t)=f(x–at)+g(x+at)2⎧ξ=x−at∂u⎨=0Î∂ξ∂η⎩η=x+atu=f(ξ)+g(η)11/16二阶线性偏微分方程(两个自变量)分类au+2au+au+bu+bu+cu=011xx12xy22yy1x2y主部通过自变量的非奇异变换简化主部，进而分类求解。二次曲线分类回顾:ax2+2axy+ay2+bx+by+C=011122212⎡a11a12⎤⎡x⎤⎡b1⎤[xy]⎢⎥⎢⎥+[xy]⎢⎥+C=0⎣a12a22