数理方程-方程的化简与分类.ppt

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1、对二阶线性偏微分主部特征方程:a11(dy)2-2a12dxdy+a22(dx)2=0解得:令积分方程的化简与分类特征方程的应用利用特征线法求解双曲方程自变量的非奇异变换特征方程的导出例1求一维齐次双曲型方程通解令特征线方程特征方程的应用从而令由引入变换代入utt=a2uxx化简，得通解u(x,t)=f(x–at)+g(x+at)二阶方程自变量的变换:a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu=f自变量的非奇异变换其中,ξ,η是二次连续可微；且引入如下变换从而可将原

2、方程化为再考虑引例变量代换其中特征方程的导出特征线方程下面分三种情况来讨论：1.在点(x0,y0)的某邻域内,如果Δ=a122-a11a22>0,存在两族相异的实特征线：双曲型方程的标准形式2.在点(x0,y0)的某邻域内,如果Δ=a122-a11a22=0,3.在点(x0,y0)的某邻域内,如果Δ=a122-a11a22<0,抛物型方程的标准形式椭圆型方程的标准形式1.由a11uxx+2a12uxy+a22uyy=0构造二次方程3.写出新方程及通解求解,得2.构造线性变换4.将变换表达式代入得原方程通

3、解利用特征线法求解双曲方程例2求方程的通解uxx+2uxy–3uyy=0=1·(–1)·3–1·[(-1)+3]–3=–8通解:解:由特征方程非奇异变换:例3.讨论x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0的类型,并化为标准型,再求通解.特征方程判别式:lny=lnx+C0y=Cx构造变换:a122–a11a22=(xy)2–x2y2=0故,该微分方程为抛物型。x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0a11a12a22标准型:通解:习题2.4(P.36)1:(1)、(4)2:(1)、(3)、(

4、6)