第二章热传导方程

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1、第二章热传导方程HeatEquations齐海涛山东大学（威海）数学与统计学院htqisdu@gmail.com齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-271/65目录1热传导方程及其定解问题的导出2初边值问题的分离变量法3Cauchy问题4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性5解的渐近性态齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-272/65学习要求1热传导方程的各种定解问题的提法与解法(Fourier变换法);2与波动方程的不同点(如极值原理);3热传导方程Cauchy问题的唯一性只在有界函数类中成立；4热传导方程的解没有有限的依赖

2、区域,即扰动的传播速度是无限的.齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-273/651热传导方程及其定解问题的导出2初边值问题的分离变量法3Cauchy问题4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性5解的渐近性态齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-274/65热传导方程的导出问题给定一空间物体G,设其上的点(x;y;z)在时刻t的温度为u(x;y;z;t),试求u所满足的方程.齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-274/65热传导方程的导出问题给定一空间物体G,设其上的点(x;y;z)在时刻t的温度为u(x;y;z;t),试求

3、u所满足的方程.Fourier热传导定律在一温度场u(x;y;z;t)中,在无穷小时间段dt内,流过一无穷小面积块dS的热量为@udQ=k(x;y;z)dSdt;(1.1)@n其中n为曲面微元所指方向的单位法向量,k(x;y;z)>0为物体在点(x;y;z)处的热传导系数,负号表示热量从温度高的一侧流向温度低的一侧.齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-274/65热传导方程的导出设函数u关于变量x,y,z具有二阶连续偏导数,关于t具有一阶连续偏导数.在G内任取一闭曲面,它所包围的区域为Ω,由(1.1)知,从时刻t1到t2时刻流入Ω的

4、热量为∫t"2@uQ=k(x;y;z)dSdt:(1.2)t1@n在时间间隔(t1;t2)中物体温度从u(x;y;z;t1)变化到u(x;y;z;t2),它所吸收的热量为$c(x;y;z)(x;y;z)[u(x;y;z;t2)u(x;y;z;t1)]dxdydzΩ∫t$2@u=cdxdydzdt;t1Ω@t其中c为比热,为密度.齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-275/65热传导方程的导出如物体内部有热源,则应考虑热源的影响.设在单位时间内单位体积中所产生的热量为F(x;y;z;t),则在时间间隔(t1;t2)中,热源所放

5、出的热量为∫t$2F(x;y;z;t)dxdydzdt:t1Ω利用Green公式有∫t"2@uk(x;y;z)dSdt=t1@n∫${()()()}t2@@u@@u@@uk+k+kdxdydzdtt1Ω@x@x@y@y@z@z齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-276/65热传导方程的导出根据热量守恒原理有∫t2$@u∫t2$[@(@u)cdxdydzdt=kt1Ω@tt1Ω@x@x()()]@@u@@u+k+k+Fdxdydzdt@y@y@z@z考虑到t1,t2与区域Ω的任意性,得()()()@u@@u@@u@@uc=k+k+

6、k+F:(1.5)@t@x@x@y@y@z@z(1.5)式称为非均匀的各向同性体的热传导方程.如物体是均匀的,即k,c及均为常数,记a2=k,得到c齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-277/65热传导方程的导出()@u@2u@2u@2u=a2+++f(x;y;z;t);(1.7)@t@x2@y2@z2其中F(x;y;z;t)f(x;y;z;t)=:(1.8)c如果物体内部没有热源,则热传导方程为()@u@2u@2u@2u=a2++:(1.6)@t@x2@y2@z2(1.6)称为齐次热传导方程,而(1.7)称为非齐次热传导方程.

7、齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-278/65定解问题的提法初始条件:u(x;y;z;0)=φ(x;y;z);(1.9)边界条件:(0tT)1第一类边界条件(Dirichlet边界条件)u(x;y;z;t)j=g(x;y;z;t)(1.10)2第二类边界条件(Neumann边界条件)@u=g(x;y;z;t)(1.11)@n3第三类边界条件(Robin边界条件)()@u+u=g(x;y;z;t)(1.13)@n齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-279/65定解问题的提法Cauchy问题u(x;y;z;0)=φ(

8、x;y;z)(1