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《数学物理方程(谷超豪)第二章热传导方程习题解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第二章热传导方程§1热传导方程及其定解问题的提1.一均匀细杆直径为l，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dQ=k1(u-u1)dsdt又假设杆的密度为r，比热为c，热传导系数为k，试导出此时温度u满足的方程。2pl解：引坐标系：以杆的对称轴为x轴，此时杆为温度u=u(x,t)。记杆的截面面积4为S。由假设，在任意时刻t到t+Dt内流入截面坐标为x到x+Dx一小段细杆的热量为2¶u¶u¶udQ1=kx+DxsDt-kxsDt=k2xsDxDt¶x¶x¶x杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t到t+Dt在截面为x到x+Dx
2、一小段中产生的热量为4k1dQ2=-k1(u-u1)plDxDt=-(u-u1)sDxDtl又在时刻t到t+Dt在截面为x到x+Dx这一小段内由于温度变化所需的热量为¶udQ3=cr[u(x,t+Dt)-u(x,t)]sDx=crtsDxDt¶t由热量守恒原理得：2¶u¶u4k1crtsDxDt=k2xsDxDt-(u-u1)sDxDt¶t¶xl消去sDxDt，再令Dx®0，Dt®0得精确的关系：2¶u¶u4k1cr=k-(u-u1)¶t¶x2l22¶uk¶u4k12¶u4k1或=-(u-u1)=a-(u-u1)¶tcr¶x2crl¶x2crl2k其中a=cr2.试直接推导扩散过程所满足的
3、微分方程。解：在扩散介质中任取一闭曲面s，其包围的区域为W，则从时刻t到t流入此闭曲12¶u面的溶质，由dM=-Ddsdt，其中D为扩散系数，得¶nt2¶uM=òòòDdsdt¶nts1浓度由u变到u所需之溶质为2tt2¶u2¶uM=òòòC[u(x,y,z,t)-u(x,y,z,t)]dxdydz=òòòòCdtdv=òòòòCdvdt121¶t¶tWWttW11两者应该相等，由奥、高公式得：t2éùt2¶æ¶uö¶æ¶uö¶æ¶uö¶uM=òòòòêçD÷+ççD÷÷+çD÷údvdt=M1=òòòòCdvdtt1Wë¶xè¶xø¶yè¶yø¶zè¶zøût1W¶t其中C叫做孔积系数=
4、孔隙体积。一般情形C=1。由于W,t,t的任意性即得方程：12¶u¶æ¶uö¶æ¶uö¶æ¶uöC=çD÷+ççD÷÷+çD÷¶t¶xè¶xø¶yè¶yø¶zè¶zø3.砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以Q(t)表示它在单位体积中所储的热量，Q为初始时刻所储的热量，0dQ则=-bQ，其中b为常数。又假设砼的比热为c，密度为r，热传导系数为k，求它dt在浇后温度u满足的方程。dQ-bt解：可将水化热视为一热源。由=-bQ及Q=Q得Q(t)=Qe。由假设，t=000dt放热速度为-btQbe0它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书
5、71页，(1.7)式得222¶u2æ¶u¶u¶uöbQ0-btæ2kö=aç++÷+eça=-÷ç222÷ç÷¶tè¶x¶y¶zøcrècrø4.设一均匀的导线处在周围为常数温度u的介质中，试证:在常电流作用下导线的温0度满足微分方程¶uk¶2ukP.024i2r1()=-u-u0+¶tcr¶xcrwcrw2其中i及r分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，w表示横截面面积，而k表示导线对于介质的热交换系数。解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为2¶u2¶u()=a+fx,t¶t¶x22k其中a=,f(x,t)=F(x,t)/
6、cr,F(x,t)为单位体积单位时间所产生的热量。cr22r由常电流i所产生的F(x,t)为.024ir/w。因为单位长度的电阻为，因此电流i作1w2r功为iw2乘上功热当量得单位长度产生的热量为.024ir/w其中0.24为功热当量。22因此单位体积时间所产生的热量为.024ir/w由常温度的热交换所产生的(视为“被动”的热源)，从本节第一题看出为4k1-(u-u0)l2ppl4其中l为细杆直径，故有=pl/=，代入得w4l-k1pF2(x,t)=(u-u0)w2¶u2¶u因热源可迭加，故有F(x,t)=F1(x,t)+F2(x,t)。将所得代入=a+f(x,t)即得¶t¶x2所求：¶u
7、k¶2ukP.024i2r1=-(u-u0)+¶tcr¶x2crwcrw25*.设物体表面的绝对温度为u，此时它向外界辐射出去的热量依斯忒---波耳兹曼4(Stefan-Boltzman)定律正比于u，即4dQ=sudsdt今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已知函数f(x,y,z,t),问此时该物体热传§导问题的边界条件应如何叙述？4解：由假设，边界只有辐射的热量交换，辐射出去的
