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1、第13卷第1期运筹与管理Vol.13,No.12004年2月OPERATIONSRESEARCHANDMANAGEMENTSCIENCEFeb.,2004次微分意义下的多目标规划的最优性条件121刘庆怀,孙喜梅,王彩玲(1吉林大学数学学院,吉林长春130012;2深圳大学经济学院,广东深圳518060)n摘要:本文是在给出的R上向量值函数的-次Jacobian阵及-凸的基础上,针对具有不等式约束的多目标规划问题,建立了最优性充要条件。关键词:多目标规划;最优性条件;-次微分;-凸性中图分类号:O2216文章标识码:A
2、文章编号:10073221(2004)01004806OptimizationConditionsofMultiobjectiveProgrammingBasedon-subdifferential121LIUQinghuai,SUNXimei,WANGCailing(1.SchoolofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China;2.SchoolofEconomics,ShenchenUniversity,Shenchen518060,China)nAbstract:Inthispaper,
3、basedon-subjacobianand-convexityofthevectorfunctionsonR,weestablishnewoptimalityconditionsformultiobjectiveprogrammingproblemwithinequalityconstraints.Keywords:multiobjectiveprogramming;optimalitycondition;-subdifferential;-convexity.[1][2][3]1预备知识np定义11f在x处的-次Jacobi阵,记成f(x
4、),它是所有满足下述条件的CRR而构12成的集合:存在x,x,使得2x!k=1!2k=1nkkk其中k={xR
5、xi!xi!xi+i(x),i=1,2,∀,n}∀,k=1,2且1111111111fj(x1,x2,∀,xi-1,xi+i(x),xi+1,∀,xn)-fj(x1,x2,∀,xn)1!ciji(x)2222222222fj(x1,x2,∀,xi-1,xi+i(x),xi+1,∀,xn)-fj(x1,x2,∀,xn)!2i=1,∀,n;j=1,∀,pi(x)T则f(x)={C=(cij)np}Tnn其中(cij)np表示矩阵(ci
6、j)np的转置矩阵,向量函数:R#R是上的正值连续向量函数,且函数x
7、#x+(x)是(严格)递增的。T定义12设x=(x1,x2,∀,xn)S,x的-邻域记为U(x),定义为收稿日期:20030312作者简介:刘庆怀(1961),男,吉林长春人,吉林大学数学学院教授,博士,主要从事优化理论与方法研究;孙喜梅(1965),女,吉林长春人,深圳大学经济学院副教授,博士,主要从事运筹学及其应用研究和智能运输系统研究。第1期刘庆怀,等:次微分意义下的多目标规划的最优性条件49n-U(x)={yR
8、xi-i(x)!yi!xi+i
9、(x),i=1,2,∀,n)}-111222这是一种长方体型闭邻域。记x∃i=xi-i(x),x%i=xi+i(x),x=(x1,∀,xn),x=(x1,∀,xn),12则U(x)可简记为[x,x]。n定义13函数f:D∀R#R,置if(x1,x2,∀,xi+i(x),∀,xn)-fk(x1,∀,xn)hf,(x)=,i=1,2,∀,ni(x)i称f(x)是-凸函数(特别严格-凸函数),如果每个hf,(x)(i=1,2,∀,n)都是非减函数(特别是递增函数)。定义14称向量值函数f(x)是-凸的(特别严格-凸的),如果其分量函数fk(k
10、=1,2,∀,p)是-凸的(特别严格-凸的)。n性质11设{fi(x),i=1,2,∀,n}是有限函数族,xD∀R,定义其点态极大函数f(x)=max{fi(x)
11、i=1,2,∀,n},I(x∃)={i
12、fi(x∃)=f(x∃)}则有f(x)#Co{fi(x)
13、iI(x)}性质12设!1,!2∃0,如果f1和f2都是-凸的,则!1f1+!2f2也是-凸的。性质13每个凸函数都是-凸的。2基本概念及定理我们将讨论如下的一般多目标规划:T(VP)minf(x)=(f1(x),f2(x),∀,fp(x))xSnT其中,S={xR
