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《多目标规划在条件微分方程组中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高校应用数学学报!辑!(()*+,-.*/*0.123435216*738*!"##$，$（%&）：&’$&’%多目标规划在条件微分方程组中的应用柯君，张可村（西安交通大学科学计算与应用软件系，陕西西安’$##9:）摘要：从工程实际出发，借助最佳逼近论和总体极值的思想，运用常微分方程组的求解理论，最优化理论与数值方法，为在最优控制中的一类条件微分方程组的求解，开辟了一条新的求解途径，并用多个计算实例，证明了算法的有效性和可行性*关键词：状态空间；最优控制；多目标规划；微分方程中图分类号：;""$<%，=>
2、$$9<$文献标识码：!文章编号：$###?99"（9"##$）#&?#&’$?#%!$引言控制理论与方法研究成果十分丰富，其中一些研究经过不断发展完善已成为成熟的独立学科，实现了从经典控制到现代控制的飞跃"%#年代后，卡尔曼引入了状态空间的概念，为现代控制理论的形成和发展奠定了基础"经过二十余年的实践，证明状态空间分析法是一个非常有用的工具"在大量的现代工业和空间技术中存在着多变量线性系统"而线性系统的状态空间模型归结为微分方程组"对于一般的微分方程组的初边值问题的求解方法已有很多，然而对本文中所讨论的
3、条件微分方程组（7+问题）却没有很好的方法可以解决"目前，绝大多数从事控制理论算法研究的工作者只是在原有算法的基础上针对某一具体问题模型提出一些改进的方法，很少有人对抽象模型系统的构造提出新的算法"本文从计算数学的角度出发，提出了一类新算法"在本文中将原条件微分方程组模型转化为一个多目标规划问题，可采用多种多目标规划的方法求解"这种方法只要在原模型中再加入一个约束条件就可以应用于求解最优控制的一般模型：收稿日万方数据期："###?#&?"’?C-高校应用数学学报D辑第+E卷第?期%!"#!（"）$#（$（
4、%&），%&）%!%&’（$，"，%）’%&()*)$(（%）$（&$，"，%），$（%）$$&，（+,+）&其它约束条件（根据不同问题的需要确定）)因而讨论这种将优化理论算法与控制理论与应用相结合的方法将有很高的理论价值和广泛的应用价值)*-模型的转化与优化模型形成本文研究的问题模型为（./）：$(（%）+,$（%）-."（%）-/（&%），（-,+））+$&，"（$%）"，""（%）"，$（%&0#!0#"其中$（%）$（$（%），⋯，$（%））1为状态函数，控制函数"（%）$（"（%），⋯，"（%）
5、）1，外力函+0+1数（&%）$（&（%），⋯，&（%））1，,，.，/均为给定常矩阵，$&和!，为给定的初始0+2020021022"维向量和正常数，"$（%）"0$!34(567$（3%）7，"（%）的范数的定义与此相同)+#3#0%$［%，%］&&!"#状态方程基解矩阵的构造我们可根据常微分方程理论与解法，给出状态曲线$（%）的带有控制函数"（%）的表达式)由常数变易法公式可得%）,］$&$（%）+84［6（%4%&-84（6%,!）84（645,）（."（5）-/（&5））’5)（-,-）%&先给
6、出状态方程基解矩阵846（%,）的构造)采用直接代入的方法及93!":*;#<=3>:8>定理，易得：04+84（6,%）+%76-（+%）86，（-,?）6+&6其中：8&$9，86$&（,@#:9），6$+，-，⋯，0@+，9为0阶单位阵)7（+%），⋯，7（0%）为下:++面初值问题的解：(7++#+7+，(76+#676-764+，7（+&）++，7（6&）+&，6+-，⋯0)（-,A）6#%又由于7（6%）$%;6，（:%）<（:6=+），其中;6，（:%）为关于%的多项式，且经计算可直接确:+
7、+定;6，（:%）的系数（由于篇幅有限，这里略去），所以通过这种途径可以求其解析表达式)为了避免繁琐的推导，也可采用数值积分公式计算7（6%），将［%&，%&］0+等分，利用梯形公式计算可得：#%#%%#%4#%·3%·37（+%）+<+，7（6%）+<6［764（+&）-<6764（+%）--<60764（+）］)（-)B）-0%+0++此外，当特征值有复数时，7（+%），⋯，7（0%）中可能出现复数，84（6,%）也可能为复矩阵，但是下面的定理说明即使在特征值为复数的情况下，84（6,%）仍为实矩阵)
8、定理万方数据!"#当问题（-,-）的状态方程中的矩阵,的特征值为复数时，基解矩阵846（,%）柯君等：多目标规划在条件微分方程组中的应用(,(仍为实数矩阵!虽然理论上当特征值为复数的情况下!"#（"#）仍为实数矩阵，但在实际计算中由于误差存在，有可能使其虚部不等于$，此时为了计算方便可令其为$，从而去掉该项!综上，可求出各种特征值情况下的$（%#），⋯，$（%#），再利用（&’(）式即可求出基解矩阵!"（#"#）!由（&’&）
