psbck-代数的 boolean 滤子与 psmv-滤子

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1、第24卷第1期宁波大学学报（理工版）Vol.24No.12011年1月JOURNALOFNINGBOUNIVERSITY(NSEE)Jan.2011psBCK-代数的Boolean滤子与psMV-滤子*宫洪娟,张小红（宁波大学理学院,浙江宁波315211）摘要:在psBCK-代数中引入Boolean滤子和psMV-滤子的概念,研究了这2种滤子的性质及其相互关系.同时,借助psMV-滤子概念,给出psBCK-代数成为psMV-代数的若干充要条件.关键词:psBCK-代数;Boolean滤子;psMV-滤子;psMV-代数中图分类号:O153.1文献标识码:A文章编号:1001-5132（2

2、011）01-0049-05psBCK-代数是由GeorgescuG等在文献[1]中(3)x≥x;提出的一种逻辑代数系统,它是BCK-代数的非可(4)1≥x;换推广.同时,近年来提出的许多非可换模糊逻辑(5)x≥y,y≥x⇒x=y;代数均与psBCK-代数有密切的联系,如:psMV-代(6)x≥y⇔y→x=1⇔yxx=1.[2][3]数,psBL-代数.文献[4-5]在较广泛的框架下讨伪BCK-代数(psBCK-代数)A称为是可换的,论了这些逻辑代数之间的关系,文献[6-7]总结了如满足(∀x,y∈A)x→y=xxy.显然,可换的psBCK-[1]psBCK-代数的系统成果.代数就是BC

3、K-代数.[1,6]滤子(或理想)理论是研究代数结构的基本方定理1在psBCK-代数(A;≥,→,x,1)中法,psBCK-代数的理想在文献[8-9]中被初步建立成立(∀x,y,z∈A):起来.作为文献[5]中psBL-代数相应概念的推广,(1)x≤y⇒y→z≤x→z,yxz≤xxz;笔者将进一步研究psBCK-代数的滤子理论.为了(2)x≤y,y≤z⇒x≤z;与逻辑系统中的蕴涵运算保持一致,我们采用(3)zx(y→x)=y→(zxx);psBCK-代数的对偶定义,因此这里的滤子即是“理(4)z≤y→x⇔y≤zxx;想”的对偶.笔者引入psBCK-代数Boolean滤子和(5)z→x≤(

4、y→z)→(y→x),zxx≤(yxz)x(yxx);psMV-滤子的概念,研究了它们的性质和联系.同(6)x≤y→x,x≤yxx;时,给出了psBCK-代数成为psMV-代数的若干充(7)1→x=x,1xx=x;要条件.(8)x≤y⇒z→x≤z→y,zxx≤zxy;(9)((y→x)xx)→x=y→x,((yxx)→x)xx=yxx.[7]定义2一个psBCK-代数(A;≥,→,x,1)1预备知识称为是有界的,若存在一个常元0使得(∀x∈A)0≤[1,6]定义1一个伪BCK-代数(简记为psBCK-x,即0→x=0xx=1.代数)是指代数结构(A;≥,→,x,1),这里≥是A在有界ps

5、BCK-代数A中定义如下2个非运算:上的二元关系,→,x是A上的二元运算,1是A中(∀x∈A)x−=x→0,x∼=xx0.的一个常元,且满足以下条件(∀x,y,z∈A):定理2[7]在任意有界psBCK-代数(A;≥,→,(1)(z→x)x(y→x)≥y→z,(zxx)→(yxx)≥yxz;x,1)中成立(∀x,y,z∈A):(2)(y→x)xx≥y,(yxx)→x≥y;(1)1−=0=1∼,0−=1=0∼;收稿日期:2009-09-30.宁波大学学报（理工版）网址:http://3xb.nbu.edu.cn基金项目:国家自然科学基金（60775038）;宁波市自然科学基金（2009A

6、610078）.第一作者:宫洪娟（1984－）,女,山东冠县人,在读硕士研究生,主要研究方向:计算机数学.E-mail:gong_hongjuan@163.com*通讯作者:张小红（1965－）,男,陕西南郑人,博士/教授,主要研究方向:代数学、模糊逻辑与Rough集理论等.E-mail:zxhonghz@263.net50宁波大学学报（理工版）2011−∼∼−(2)x≤(x),x≤(x);(1)x∈F,y∈A,y≥x⇒y∈F;−−∼∼(3)x→y≤yxx,xxy≤y→x;(2)y∈F,y→x∈F或yxx∈F⇒x∈F.−−∼∼[4](4)x≤y⇒y≤x且y≤x;定义7设L是有界格,若x,

7、y∈A,x∧y=0,−∼(5)yxx=x→y;x∨y=1,则称y是x的一个补,而x称为有补元.有−∼−−∼−∼∼(6)((x))=x,((x))=x.界格L称为有补格,如果它的每一个元素都是有补[6-7]定义3满足以下条件(pseudo-doublenega-的.一个有补分配格称为Boolean格或Boolean代数.[6]tioncondition)的有界psBCK-代数称为具有条件定理5psBL-代数是psMV-代数,当且仅当(