R 代数的关联MP滤子

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1、R0代数的关联MP滤子王保社（咸阳师范学院数学系，陕西　咸阳　）摘要：引入代数的关联MP滤子的概念，研究了它的特性，证明了如下主要结果：代数成为布尔代数的充要条件是其MP滤子均为关联MP滤子。关　键　词：代数，MP滤子，关联MP滤子中图分类号：O153.1文献标识码：A文章编号：1000-274X(2004)0112-5近年来，王国俊教授提出的模糊逻辑命题演算系统L受到学术界的普遍关注[1,2]，与之相关联的代数也引起许多研究者的兴趣[3～5]。代数的MP滤子，在证明L系统的完备性时起到重要作用[6]。Boole代数作为代数的特例，其MP滤子也应有

2、独特之处，能否用某类MP滤子来刻划这一点呢？本文通过引入关联MP滤子的概念，成功地解决了这一问题。本文直接使用而未给出定义的概念以及未证明的结论，均可查阅文献[1,2]。需要说明的是，本文的主要思想和一些证明技巧来源于文献[7]，但由于代数与BCK-代数是不同的代数系统，所得结果是新的，对深入研究代数的结构是有积极意义的。1　预备知识定义1[1]设M是)型代数，如果M上有偏序≤使成为有界分配格，且∨是关于序≤的上确界运算，﹁是关于序≤的逆序对合对应，且(M1)(M2)(M3)(M4)(M5)(M6)这里1是中的最大元，则称M为代数。有时

3、也用表示﹁,由ˊ为逆序对合对应知DeMorgan对偶律成立，即。另外，记,则易知。对于Boole代数B，规定，则B是代数。命题1[1]设M是代数，a、b、cM，则以下性质成立61)当且仅当,特别地；2)当且仅当；3)；4)若，则，若，则；5)；6)；7)；8)；9)；10)。定义2[1]设M是代数，FÌM。如果1∈F，且F对MP运算封闭，即，当时，则称F为MP滤子。2关联MP滤子定义3设M是代数，FÌM，如果F满足(1)当时(2)则称F是M的一个关联MP滤子。定理1设M是代数，F是M的关联MP滤子，则F是M的MP滤子。事实上，在式(2)中取b=a,

4、即得：当时a∈F。下面的例子表明，代数的MP滤子未必一定是关联MP滤子，即定理1的逆不成立。反例令，其﹁、、定义如图1所示。﹁x01abba100ab100ab1aaaa1bbab1111110ab101111ab1a1ba11110ab1图1　﹁、、的定义Fig.1Thedefiniensof﹁、、M上的序≤定义为：（自然定义）.容易验证M为6代数。{1}显然是M的MP滤子，但，而，这说明{1}不是M的关联MP滤子。定理2设M是代数，F是M的MP滤子，F是关联MP滤子的充要条件是F满足时有(3)证明假设F是关联MP滤子，则由式(2)得当1,1时有

5、。由于1必属于F，故上述结果说明式(3)成立。假设MP滤子F满足式(3)，若,则由MP滤子的定义得。应用式(3)可得，这说明式(2)成立，即F是关联MP滤子。定理3设M是代数，则对任意a、b∈M有　　(4)证　明　首先，由(M4)及(M2)得应用性质1)得。另一方面　　再据性质2)得，于是定理4设M是代数，F是M的关联MP滤子，则在F中成立当时有　　　　　　　　　　　(5)证　明　假设。由于,即由MP滤子的定义得。再据及MP滤子的定义得据定理3有，而由(M4)即得。由于F是关联MP滤子，故应用定理2可得，即式(5)成立。6定理5设M是代数，F是M的

6、关联MP滤子，则在F中成立当时有(6)证明假设由性质8)得，即.连续应用4)可得，从而　　　…　　　(＊)又据(M4)，有，而应用(M3)及性质2)得由上式,MP滤子的定义及得，进而有.再据MP滤子的定义及式(＊)得由于F为关联MP滤子，故应用定理2有，即式(6)成立。定理6设M是代数，F是M的关联MP滤子，则F中成立当时有　　　　　　　(7)证　明　假设，由(M3)得，据4)得由(M4)、(M2)得，故　由假设及F为关联MP滤子，应用式(5)得，即，说明式(7)成立。3　主要结果定理7　代数M的每一个MP滤子是关联的当且仅当M满足，对任意a，b∈

7、M　(8)证　明　由定理2易知，满足式(8)的代数M的每一个MP滤子是关联的。假设代数M的每一个MP滤子是关联的，a、b是M的任意两个元素。由性质8)得，即。下证相反的不等式成立。6由M的每一个MP滤子是关联的，特别地，{1}是M的关联MP滤子。由于，故由式(7)得再应用定理5得，即。综上所述，。定理8　代数M成为Boole代数的充要条件是M的每一个MP滤子是关联的。证　明　假设M为Boole代数，则。于是即在布尔代数中式(8)成立。由定理7知M的每一个MP滤子是关联的。反之，若M的每一MP滤子是关联的，由定理7知在M中式(8)成立，于是应用性质6

8、)得而据DeMorgan对偶律得。因此，只需再证M中成立，即可断定M为Boole代数。由性质5)知，而由性质10)得所以在