第五章 不定积分

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1、第五章不定积分东北林业大学理学院数学系第五章不定积分5.15.1原函数与不定积分5.1原函数与不定积分5.25.2换元积分法5.2换元积分法5.35.3分部积分法5.3分部积分法5.45.4几类函数的积分5.4几类函数的积分5.55.5例题5.5例题东北林业大学理学院第5章章不定积分章不定积分2225.1原函数与不定积分原函数：如果在某区间I上，Fx'()=fx()或dFx()=fxdx(),则称Fx()为fx()在上的一个原函数I。'例例：例：(sinx)=cos,x则称sinx为cosx的一个原函数。一般地说，若Fx()为fx()的一个原函数，则Fx()+C亦为fx()的原函数（为

2、任意常数），这是因C为''Fx()+C=Fx()=fx()东北林业大学理学院第5章章不定积分章不定积分333定理5.1如果Fx()是fx()在区间上的一个原函数I，则fx()在上的任一原函数都可以表为IFx()+C的形式，其中为某一常数C。证明：设F(x)为fx()在区间上的任一原函数，I则F¢()x=fx()又因Fx¢()=fx()[()Fx-Fx()]¢=F¢()x-Fx¢()=fx()-fx()=0"ÎxI故F()x-Fx()=C，即F()x=Fx()+C可见，只要找到fx()的一个原函数，就知道它的全部原函数。东北林业大学理学院第5章章不定积分章不定积分444不定积分

3、：设Fx()是fx()的任一原函数，则fx()的全部原函数的一般表达式Fx()+C称为函数fx()的不定积分，记作∫fxdx(),即∫fxx()d=Fx()+C(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!—积分号;—被积函数;—积分变量;—被积表达式.东北林业大学理学院第5章章不定积分章不定积分555注意：1.被积函数是原函数的导数，，被积表达式是原函数的微分，被积表达式是原函数的微分。2.不定积分表示那些导数等于被积函数的所有函数，，因此，因此不能漏写积分常数CCC。C。3.求已知函数的原函数或不定积分的运算称为积分运算，它是微分运算的逆运算。例例1例111：：∫cosdxx=sixC+3

4、14例例2例222：：∫xdx=x+C4东北林业大学理学院第5章章不定积分章不定积分666不定积分的几何意义:设Fx()是fx()的一个原函数，则y=Fx()的图形称为fx()'的一条积分曲线。因为Fx()=fx()，所以积分曲线上任一点，(xFx())处的切线斜率恰好等于fx()。若把这条积分曲线沿轴方向平移个单位，就得到另一条积分曲yC线y=Fx()+C。所以不定积分就是这样一族积分曲线通用的方程。曲线族中各条曲线在横坐标相同的点处的切线平行。东北林业大学理学院第5章章不定积分章不定积分777例例3例333：：求通过点，，且其切线斜率为的曲线(25)2x。'解解：解：切线斜率为，即

5、2xy=2x的曲线族为2y=∫2xdx=x+C，Q所求曲线通过点(25，)，即当x=2时，y=5，2有5=2+C，C=12故，所求的曲线方程为y=x+1东北林业大学理学院第5章章不定积分章不定积分888例例4例444：：已知物体运动速度v=atv+，求路程函数。0ds解解：解：Q==vatv+，0dt12=s∫(atvdt+0)=at+vt0+s0,2其中s为任意常数。若t=0时，s=0，则s=0，0012这时路程函数为：s=at+vt。02定理5.2若fx()ÎCab[，，则它必有原函数]。东北林业大学理学院第5章章不定积分章不定积分999不定积分的性质'性质111(∫fxdx(

6、))=fx()或dfxdx∫()=fxdx()；'∫f(xdx)=fx()+C或∫dfx()=fx()+C,性质222若在同一区间上fx()，gx()都有原函数，则∫afx()+bgxdx()=afxdxbgxdx∫()+∫()，其中，ab,是不同时为零的常数。东北林业大学理学院第5章章不定积分章不定积分10证明：'''afxdxbgxdx()+()=afxdx()+bgxdx()=afx()+bgx()∫∫∫∫afxdxbgxdx()+()是afx()+bgx()的原函数，∫∫且在不定积分中已含有任意常数，由不定积分定义知性质2成立。性质2称

7、为积分的线性性质，它是和微分运算的线性性质相对应的。东北林业大学理学院第5章章不定积分章不定积分11不定积分的基本公式(Ⅰ)(1)∫0dx=C；(2)∫1dx=+xC；m1m+1(3)∫xdx=x+C(m¹-1)；m+11(4)∫dx=lnx+C;xxxa(5)∫adx=+C(a>0,a¹-1);lnaxx(6)∫edx=e+C;(7)∫sinxdx=-cosxC+;东北林业大学理学院第5章章不定积分章不定积分12(7)∫sinxdx=-cos