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《第五章-不定积分(2).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、不定积分的计算：直接积分法（利用性质和公式）换元法(第一、第二)分部积分法有理函数积分法*第三节不定积分的换元法利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法——不定积分换元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.例1：计算分析：如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与积分变量变得相同,那么就可用公式求出此不定积分.(u是x的函数)不同！1.不定积分
2、的第一换元法其理论依据为：注:这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分(可不必换元),使原积分变成一个可直接用积分公式来计算.定理该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。步骤：凑微分法的关键是“凑”,“凑”的目的是把“不易计算”的不定积分化为容易用“直接计算法”计算或查表计算的不定积分.（第3、4步可以省略）（不易计算）（容易计算）例1.解“凑微分”法的解题步骤例2.求原式=注：当时注意换回原变量想到公式解例3.求令则想到公式解例4.解例5.解例6.解例7.求当n为
3、偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分.解例8.解例9.求∴原式=对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.解例10.求原式=解例11.求解法2解法3两法结果一样例12.解例13.解常用简化技巧小结：(1)分项积分：(2)降低幂次：(3)统一函数：利用三角公式；配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差；分式分项利用倍角公式,如2.不定积分的第二换元法定理注1.求解步骤为：（不易）（容易）注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换例1.求解注2.换元积分法是先换元,再积分,最后回代。这
4、与凑微分法(先凑微分，后换元)不一样。重点不同，目标相同。例2.解通过这种代换将根式积分化为三角有理式积分.被积函数中含有根式相应的三角代换例3.解例4.解令则原式例5.解例6.解例7.解例8.解小结：1.第二类换元法常见类型令令令或令或令或2.常用基本积分公式的补充7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换令不定积分的计算直接积分法（利用性质和公式）换元法(第一、第二)分部积分法有理函数积分法*第四节不定积分的分部积分法定理而不定积分易计算,则可采用分部积分公式,使计算大为简化.注1：不定积分不易计算,步骤：注2：如何
5、正确地选定u和v却显得非常重要.一般说来要考虑以下三点:积分容易者选作dv；求导容易者选作u；不可兼得时以前者为优先。（不易）（容易）例1.解例2.解一般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑运用分部积分法进行计算：幂函数与三角函数(或反三角函数)之积,指数函数与三角函数(或反三角函数)之积,幂函数与指数函数之积,指数函数与对数函数之积,一个函数难于用其它方法积分,两个函数的乘积.例3.解例4.解故例5.求令则原式解例6.求原式故原式=说明：也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.解例7.求令则∴原式=解例8.解
6、,dd)(ln00CxxxxI+===òò分部积分题目的类型：1)直接分部化简积分；2)分部产生循环式,由此解出积分式；(注意：两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C)例63)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.内容小结分部积分公式1.使用原则：易求出,易积分2.使用经验：“反对幂指三”,前u后3.题目类型：分部化简；循环解出；递推公式
