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1、§1不定积分的概念引例第五章不定积分(1)xoy平面上一曲线过点（0，1），并在点(x,y)的斜率为ex-1，求此曲线。(2)一质点在时刻t以速度v(t)=2t-1运动，求质点从初始时刻t=0到时刻t所经过的距离f(t)．这两个问题和我们在第三章遇到的问题正好相反！要解决这类问题，必须学习不定积分一、原函数与不定积分设函数f的定义域为区间I,若存在I上的可微函数F,使F(x)=f(x)(x∈I).则称F(x)为f在区间I上的一个原函数.注①:若f(x)在区间I上连续，则在下一章我们将知道f(x)在区间I上存在原函数.即：连续函数必有原函数.注②:若F(x)=f(x),则C∈R
2、,有[F(x)+C]=F(x)=f(x).这就是说,若f(x)有原函数,则f(x)有无限多个原函数.注③:若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数,则[F(x)G(x)]=F(x)G(x)=0.故F(x)G(x)为常数——f(x)的任两个原函数相差一个常数.这就是说,若f(x)有一个原函数F(x),则f(x)的其他原函数都可以写成F(x)+C,其中C为某个常数.注④:设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.我们用{F(x)+C，C为任意实数}表示f(x)在区间I上的全体原函数.定义函数f(x)在区间I上的全体原函数称为f(x)在区间I上的不定积分.记为称为积分
3、符号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.若F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则=F(x)+C.其中C称为积分常数.注⑤:求已知函数的不定积分就是求它的一个原函数,再加上任意常数C.其中例1求解解例2求解例3例4解例5解例6设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为显然,求不定积分得到一积分曲线族.这些积分曲线在相同横坐标处的切线斜率是相同的,因此在这些点处的切线是互相平行的.由不定积分的定义，可知结论：求导数(微分)运算与求不定积分的运算是互
4、逆的.二、不定积分的几何意义三、不定积分的性质性质1此性质可推广到有限多个函数之和的情况性质2不为零的常数可以提到积分符号外面.性质3两个函数代数和的不定积分等于函数不定积分的代数和.由于求不定积分是求导的逆运算,因此由基本导数公式，有基本积分公式.积分公式导数公式1.2.§2基本积分公式和直接积分法3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.例1求积分解根据积分公式例2求积分解注意检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数练习例3求积分解例4求积分解例5求积分解例6求积分解例7求积分解例8求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能利用性
5、质和基本积分表求出结果.----直接积分法练习引例的解决(1)xoy平面上一曲线过点（0，1），并在点(x,y)的斜率为ex-1，求此曲线。解:设此曲线为y=f(x),则f’(x)=ex-1,f(0)=1因而得f(x)=ex-x.(2)一质点在时刻t以速度v(t)=2t-1运动，求质点从初始时刻t=0到时刻t所经过的距离f(t)．解:f’(t)=v(t)=2t-1,f(0)=0因而得f(t)=t2-t.直接利用基本积分表和直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。在微分学中，
6、复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法——换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。§3换元积分法问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法说明结果正确将上例的解法一般化：设则如果（可微）将上述作法总结成定理，使之合法化，可得——换元法积分公式第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理1例1求解（一）解（二）解（三）例2求解一般地例3求解注意：分子拆项是常用的技巧例4求解例5求解例6解例7求解例8解例9求解例10求
7、解例11求解例12求解例13求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例14求解例15解例18.例16.例17.类似可得例19.或=ln
8、tanx+secx
9、+C.=ln
10、tanx+secx
11、+C.第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。类似可得问题解决
