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1、第五章不定积分§5.1不定积分的概念与性质§5.2换元积分法§5.3分部积分法§5.4有理函数及三角函数有理式的积分1回顾:微分学的基本问题是“已知一个函数,如何求它的导数.”积分学包括两个基本部分:不定积分和定积分.本章研究不定积分的概念、性质和基本积分方法.那么,如果已知一个函数的导数,要求原来的函数,这类问题,是微分法的逆问题.这就产生了积分学.2问题:若已知某一函数F(x)的导数为ƒ(x),求这个函数.则称F(x)是已知函数ƒ(x)在该区间I上的一个原函数.一.原函数的定义定义1设ƒ(x)定义在区间I上,
2、若存在函数F(x),使得对§5.1不定积分的概念和性质有例因为，所以因为所以3定理1若函数ƒ(x)在区间I上连续,则ƒ(x)在区间I上的原函数一定存在。简言之：连续函数一定有原函数.(证明略)原函数存在性定理:定理2设F(x)是函数ƒ(x)在区间I上的一个原函数,则对任何常数C,F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数.证因为问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？所以F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数.4定理3设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数,则F(x)–G(x)≡C(常数)证由
3、拉格朗日定理知由此可见:若F(x)是ƒ(x)的一个原函数,则表达式F(x)+C可表示ƒ(x)的所有原函数。二.不定积分的定义定义2函数ƒ(x)的全体原函数称为ƒ(x)的不定积分.记为显然，若F(x)是函数ƒ(x)的一个原函数,则5任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量例如6例1求解解例2求7例3求下列不定积分8三.不定积分的几何意义而是ƒ(x)的原函数一般表达式,所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族,其特点是:(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y=F(x))沿y轴平行移动
4、c
5、个单位而
6、得到.(如图)当c>0时,向上移动;当c<0时,向下移动.oxyxy=F(x){
7、c
8、9oxyxy=F(x)(2)即横坐标相同点处,每条积分曲线上相应点的切线斜率相等,都为ƒ(x).从而相应点的切线相互平行.注:当需要从积分曲线族中求出过点的一条积分曲线时,则只须把代入y=F(x)+C中解出C即可.10例4已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且过点求此曲线方程.解设所求曲线为y=ƒ(x),则故所求曲线为y=ln
9、x
10、+211四、不定积分的性质12五、基本积分表1314导数公式表积分公式表以上基本
11、积分公式是求不定积分的基础,必须记牢！15例5求下列不定积分16直接积分法:利用基本积分公式和性质求不定积分的方法称为直接积分法.用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分.例6求下列不定积分1718例8一种流感病毒每天以的速率增加,其中t是首次爆发后的天数,如果第一天有50个病人,试问在第10天有多少个人被感染？解设在第t天有Q(t)个人被感染,则19由题意知当t=1时,Q(t)=50.代入上式可解出C=–69,则即在第10天有10931个人被感染.20练习题无穷多常数全体原函数积分曲线积分曲线族平行连续2122
12、能利用直接积分法求出的不定积分是很有限的.一.凑微分法(第一换元法)例计算分析:此不定积分在积分表中查不到.§5.2换元积分法为了求出更多函数的不定积分,下面建立一些有效的积分法.这是因为被积函数cos2x的变量是“2x”,与积分变量“x”不同.但如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与积分变量变得相同,那么就可用公式求出此不定积分.(u是x的函数)23注:这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d()使原积分变成可直接用积分公式来计算.这种方法称为凑微分法.其
13、理论依据为24定理4证利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.注1.定理4中,若u为自变量时,当然有当u换为(x)时,就有成立.——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性.注2.凑微分法的关键是“凑”,凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同.即成立.25(1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则,把dx凑成d(x).如(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x).如“凑微分”的方法有:26例1求下列各不定积分结论1:272829以下常见的凑微分公式
14、！3031例2求不定积分结论2:同理可得32例3求下列各式的不定积分33结论3:34或原式同理可得35例4求下列各式的不定积分同理可得结论4:一般地,对形如这样的不定积分当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分；36一般地,对形如这样的不定积分若n≠m，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；若同为偶，则化为37对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.3
