《微积分》第五章《不定积分》

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1、第五章不定积分积分学是解决实际问题的重要工具，掌握积分的方法与规则，是本章的重点。本章要求：1、理解并掌握不定积分的概念2、理解并掌握不定积分的基本计算法则3、熟练积分的类型以及运算技巧一、不定积分的基本概念1、原函数的概念过去，我们学习了导数：111()x33x2()(x)2xx2x1xx(ln)x1(x)x(a)alnax2(sin)xcosx(cos)xsinx(tan)xsecx11(arcsin)x(arctan)x21x21x现在，我们逆向研究导数：3n11x2xn()x()x(ln

2、

3、x)

4、3n1x1()xx2x(e)e(cosx)sinxx21(tanx)secx(arctanx)21x显然，上述运算都是导数的逆运算。【原函数】已知函数fx()在某区间(,)ab上有定义，如果在区间(,)ab上存在一个函数Fx(),使之满足条件：[()]Fxfx(),则称函数Fx()是函数fx()在区间(,)ab上的一个原函数。2、原函数的特征（性质）(C)01)若函数Fx()是fx()的一个原函数，则Fx()C也是。这是因为：(Fx()C)[()]FxCfx()这说明：如果函数fx()有原函数，则原函数不止一个，有无数

5、个。2)若函数fx()有两个不同的原函数：FxGx(),(),则：Gx()Fx()C既然FxGx(),()都是fx()的原函数，必有：[()GxFx()][()][()]GxFxfx()fx()0Gx()Fx()C,Gx()Fx()C这说明：如果函数fx()有两个不同的原函数，那么这两个原函数可通过恒等变换化成一种函数。3)哪些函数具有原函数？一切初等函数在它们的定义域内必有原函数。（证明略）3,【不定积分的定义】已知函数fx()，如果存在函数Fx()（，原函数）满足：fx()[()]Fx则函数fx()的原函数的全体：Fx()C叫做：函

6、数fx()的不定积分。积分符号记：Fx()Cfxdx()积分变量被积函数如果不定积分fxdx()存在，则称函数fx()可积。【例5-1】填空21)2xdxxC2)cosxdxsinxC113)dxarctanxC4)dxln

7、

8、xC21xx115)edxxexC6)dxCx2x练习：1C7)sinxdxcosxC8)dxarcsinx1x29)sec2xdxtanxC10)dxxC二、不定积分的几何意义yFx()Cfxdx()yFx()Cfx()这说明：曲线簇yFx()C在

9、同一点具有相同的切线斜率。xxx012【例5-2】求过点(1,2)的切线的斜率为3x的曲线方程。2解：根据导数的几何意义，可知：y3x(3)2xC3x这是导数的逆运算！可描述为：23y3xdxxC3由于该曲线过点(1,2)，故满足：21C，C1于是，所求曲线方程为：3yx1【例5-3】求通过点(2,5)的斜率为2x曲线方程。解：曲线yfx()在任一点的切线的斜率为：kfx()切由题意可知：fx()2x2fx()fxdx()2xdxxC因曲线通过点(2,5)，于是有：252CC1故：所求的曲线方程为：2fx()x

10、12【例5-4】已知物体在t时刻的运动速度为t，且在t1时物体已走过的距离为2.试求物体的运动方程。解：由导数的物理意义可知：st()vt()32tst()vtdt()tdtC3由题意可知：3152CC33故：所求问题为：3t5st()33三、不定积分的基本性质1、[()fxgxdx()]fxdx()gxdx()2、kfxdx()kfxdx()3、[fxdx()][()FxC]fx()4、fxdx()fx()C3【例5-2】已知函数fx()的一个原函数为：xsin,x求：fx()333解：fx()(x

11、sin)x()sinxxx(sin)x233xsinxxcosx【例5-3】求不定积分2x1）(3x2x4)dx2）(2e5x3cos)xdx22解：1）(3x2x4)dx(3)xdx(2)xdx4dx32xx4xCx2）(2e5x3cos)xdxx2edx25xdx3cosxdxx5x2e3sinxC2四、不定积分的基本公式(这都是导数的逆运算)xax（10）dxC（8）adxClnaxx（21）dxxC（9）edxeC2x（