微积分(不定积分).ppt

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1、第四章不定积分不定积分的概念和性质基本积分公式换元积分法分部积分微积分这门课程，主要包括微分学和积分学。在上学期我们已经学习了微分学，即已知一个函数，如何求出其导数的问题。本章我们开始学习微分的反运算，亦即已知一个函数的导数，如何求出的问题，这一过程称为积分。例如，已知某工厂生产单位某种产品的边际成本为求总成本函数这个问题就是求的积分的过程4-1不定积分的概念和性质又如d(secx)=secxtanxdx，所以secx是secxtanx的一个原函数.定义设f(x)在某区间上有定义，如果对该区间的任意点x都

2、有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数.1原函数的概念例如:，是函数在上的原函数.,sinx是cosx在上的原函数.(2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在．例如在上是的原函数也是它的原函数即加任意常数都是的原函数.(3)若函数f(x)在区间I上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.而注:定义2如果函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原

3、函数F(x)＋C(C为任意常数)称为f(x)在区间I上的不定积分.记作其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.即2.不定积分的概念注意：不定积分为全体原函数F(x)＋C例2求解例1求解例3求解3不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算.特别地，有4不定积分的性质性质1被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.性质2可以推广到有限多个函数的情形，即性质2两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即例4求解注逐项积分

4、后，每个积分结果中均含有一个任意常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可4-2基本积分公式基本积分公式练习：计算下列积分解(3)例5某公司测定出生产件某种产品的边际成本为求总成本函数解：应用积分来求成本函数解例6求例7求解有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数的积分后，便可逐项积分求得结果．练习：计算下列积分解(3)作业：P1381，（3）（8）（12）作业：计算下列积分解(3)4-3换元积分法换元积分法直接利用基本积分表和分项积分

5、法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法——换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法说明结果正确定理1设该公式称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第

6、一换元积分法.也称“凑微分”法凑微分法的基本思路：与基本积分公式相比较，将不同的部分——中间变量和积分变量——变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量应用定理1求不定积分的步骤为微分的基本公式：例1求解一般地例2求解已知某公司出售现x单位产品的边际利润函数是求总利润函数.例3解：由不定积分的性质可知练习：求下列不定积分解解解例4解例5求解例6求解例7求解练习：求下列不定积分解解解解解(1)(2)(3)(4)(5)事实上，凑微分就是把中间变量省略，从而简化计算过程，这种方法需要一定的技巧，请同学们熟识

7、下列公式(6)(7)(8)(9)(10)(11)问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法例8求解令例9求解令例10求解令练习：求下列不定积分解令解令解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令说明(2)积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.例11求（三角代换很繁琐）解令说明(3)当分母的次数较高时,可采用倒代换例12求解令说明(4)当被积

8、函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数k,l…,的最小公倍数）例13求解令练习：求下列不定积分解令解令（分母的阶较高）解令基本积分表三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)4-4分部积分法分部积分法前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法——分部积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。问