赵树�微积分第四版第五章 不定积分.ppt

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1、第五章不定积分1例第一节不定积分的概念(一)原函数与不定积分的概念定义不定积分又称反导数，它是求导运算的逆运算。本章所讲的内容就是寻求函数的原函数。2原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数。问题：(1)原函数是否存在？(2)是否唯一？因此初等函数在其定义域内都有原函数。(但原函数不一定是初等函数)3唯一性？说明：4积分变量(二)不定积分的概念积分常数积分号被积函数记为定义5例1求解解例2求6例3求解7解例3求合写成8(三)不定积分的几何意义设F(x)是f(x)的一个原函数，则方程y=F(x)的图形是直角坐标系Oxy中的一条曲线，称为f(x)的一条积分曲线

2、.将这条曲线沿y轴向上或向下移动长度为

3、C

4、的距离，就可以得到f(x)的无穷多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为f(x)的积分曲线族，其方程为或9它们的特点是：在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线有相同的斜率，都是f(x)，即各切线平行。10解例4设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.设曲线方程为根据题意知(1,2)11第二节不定积分的性质或性质1求不定积分与求导或微分互为逆运算：或性质2其中a为非零常数。证由定义可知，12此性质可推广到有限多个函数之和差的情形。性质3证综合性质2和性质3，可得13第三节基本积分

5、公式(k是常数)1415直接积分法—分项积分法例例例16例17例18例19例例例20三角恒等变形例例21例例例22训练：求下列不定积分23问题第四节换元积分法(一)第一类换元积分法(凑微分法)24一般地，凑微分法步骤如下：25常用凑微分公式：等等.26例例例27练习28例例例29例例30例另外：31例类似地，或32例33类似地，例34基本积分公式35例解法1解法2例36例37例38例39例40或解例41例例42例积化和差43训练：求下列不定积分44(三)第二类换元积分法回代,得45称为第二换元积分法注意：不要忘了回代。回代46例解47解例48解令例49训练：解

6、50例解失败！51例解52例解53例解54基本积分公式比较：55说明：以上几例所使用的均为三角代换,目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令但是否一定采用三角代换并不是绝对的,有时可灵活采用别的方法.56训练：求下列不定积分57例解58例解59凑微分分部积分公式问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.第五节分部积分法分部积分的过程：60例积分更难进行.61例62例63例64训练：65训练：求下列不定积分66例分部积分法可多次使用：67训练：求下列不定积分68例循环法69解方程组得或解例70分部积分法与换元法结合：例解71训练：求下列不定积分7

7、2解例因为所以73例解由题意,74第六节综合杂例例计算下列不定积分：75解例76例77例78例79例80例81或解82例83例84例85例解86例87例88有理函数的积分：假定分子与分母之间没有公因式(既约分式).有理函数是真分式；有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。89例要点：将真分式化为部分分式之和。以下只考虑真分式的积分。90真分式的分解：（1）分母中若有因式，则分解后有真分式化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式，则分解后有91（3）分母中若有因式，其中则分解后有（4）分母中若有因式，，则分解后有其中9

8、2真分式化为部分分式之和的待定系数法：例193代入特殊值来确定系数例294例395例496真分式可分为以下四种类型的分式之和：这四类分式均可积分，且原函数为初等函数。因此，有理函数的原函数都是初等函数。97部分分式的积分例5例698例799例8100例9101例10102例11灵活运用其他方法：例12103ENDEND104