赵树嫄微积分第四版第七章-无穷级数复习进程.ppt

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1、赵树嫄微积分第四版第七章-无穷级数第一节无穷级数的概念无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积21、级数的定义：—(常数项)无穷级数通项级数的前n项部分和数列32、级数的收敛与发散：定义(设极限为S)，则称该无穷级数收敛，且称S为该级数的和，并记为4解例1讨论无穷级数的收敛性.所以级数收敛，且和为1。5解例2所以级数发散.所以6解收敛发散例3讨论等比级数(几何级数)的收敛性.7发散发散综上所述，8齐诺

2、悖论—阿基里斯与乌龟阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然发现在他前面一千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀

3、，我明明知道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事呢？"9AB假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！BB1B1B210如果我们从级数的角度来分析这个问题，齐诺的这个悖论就会不攻自破。设阿基里斯的速度为乌龟速度的10倍，则他跑完1000米时，乌龟又爬了100米；等阿基里斯

4、跑完这段路，乌龟又向前爬了10米……，依次类推，阿基里斯需要追赶的全部路程为11思考题：还有没有其他方法解此题？这里已经假定可以追上。12解例4小课题：请编写一套把循环小数转化为分数的方法。13循环小数转化为分数的方法：第一型：14例如：15第二型：16例如：17第二节无穷级数的基本性质也收敛，且有性质1证18说明：证矛盾.19性质2证2021性质3去掉、添加或改变级数中的有限项，不会影响它的敛散性.这是因为，去掉、添加或改变级数中的有限项后所得数列的部分和数列与原级数的部分和数列只相差一个常数，所以具有

5、相同的敛散性。注意：原级数若收敛，则改变级数中的有限项后，一般要改变它的和.22性质4收敛级数任意加括号后仍收敛，且其和不变.证例如，23证性质4收敛级数任意加括号后仍收敛，且其和不变.注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.推论发散级数去括号仍发散。例如24性质5(级数收敛的必要条件)证25说明：1、如果级数的一般项不趋于零，则级数发散；级数发散；级数发散。262、必要条件不充分：再举一个重要例子：但级数发散。调和级数27调和级数增加的速度非常缓慢，例如那么调和级数到底的收敛还是发散？调和级数证明：调和

6、级数发散。于是矛盾，调和级数假设调和级数收敛，其和为S，所以级数发散。证因为29进一步的研究可以发现，虽然调和级数发散到正无穷大，但其发散的速度却是惊人的缓慢。这说明调和级数发散到正无穷大实在不是直接的计算所能得到的，由于调和级数发散到正无穷大的缓慢性，我们也可形象地称调和级数为一“坚韧不拔”的级数，另一方面它又提醒我们：人不可“貌相”，级数的敛散性不可凭“想象”，需要严格的证明。调和级数例1判断下列级数的敛散性：因为都收敛，故原级数收敛，解且和为31收敛；发散。例1判断下列级数的敛散性：32第三节正项级

7、数1、定义：这种级数称为正项级数。2、正项级数收敛的充要条件：定理(一)正项级数的收敛问题33(二)比较判别法证明定理(1)34(一)比较判别法证明(2)是(1)的等价命题。注：定理的条件可放宽为：定理35解例1所以原级数收敛.36解例2故原级数发散；于是有37所以于是38重要参考级数：几何级数，p-级数，调和级数。比较：39解例3例4解所以原级数发散。所以原级数收敛。40比较判别法的极限形式：41证明42可知两级数有相同的敛散性。43证明由比较判别法可知，(注意：单向)由(2)即得结论。44例5例6所以

8、原级数发散。所以原级数收敛。解解45例7例8发散解所以原级数发散。解所以原级数收敛。46常用等价无穷小：47解例1所以原级数收敛.48例9解49例10收敛，解所以原级数收敛。50例11所以原级数收敛。51例12解所以原级数收敛。所以原级数发散。52证例13由基本不等式53(三)比值判别法(达朗贝尔比值判别法)证略54例14判别级数下列级数的敛散性所以级数收敛。解解所以级数收敛。55解解所以级数发散.所以级数收敛.56解练习：所