赵树嫄微积分第四版第三章-导数与微分讲课讲稿.ppt

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1、赵树嫄微积分第四版第三章-导数与微分解所以例12(二)切线问题切线—割线的极限位置3(二)切线问题切线—割线的极限位置4(二)切线问题切线—割线的极限位置5(二)切线问题切线—割线的极限位置6(二)切线问题切线—割线的极限位置7(二)切线问题切线—割线的极限位置8(二)切线问题切线—割线的极限位置9(二)切线问题切线—割线的极限位置10(二)切线问题切线—割线的极限位置11(二)切线问题切线—割线的极限位置12割线MN的斜率为切线MT的斜率为13解例21xy因此切线方程为切线斜率为14第二节导数概念

2、(一)导数的定义定义比值并15形式1形式2也可记为16这样，曲线的切线的斜率可以说成是曲线上点的纵坐标对该点的横坐标的变化率，变化的快慢。它表示函数值的变化相对于自变量的变化率有广泛的实际意义，例如，加速度就是速度对于时间的变化率，角速度就是旋转的角度对于时间的变化率，线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化率，功率就是所作的功对于时间的变化率，等等.速度可以说成是行走的路程对于时间的变化率。17导函数18用定义求导数的基本步骤：19例3解20例4解21例5解22例6解以后证明，(α为任意非零实数)

3、。23011/π－1/π极限不存在,但例7用定义讨论函数解24(二)导数的几何意义切线方程为法线方程为25例8解所以切线方程为26练习：解所求切线方程为或或L的斜率27(三)左、右导数2、右导数：1、左导数：★28例9解29例10解30(四)可导与连续的关系定理函数在可导点处必连续.证31例如,注意：该定理的逆定理不成立：连续未必可导。32(或称导数无穷大)注意：此时存在铅直切线。33例如,011/π－1/π极限不存在,但34例11解第三节导数的基本公式与运算法则(一)常数的导数即则36(二)幂函数

4、的导数以后证明：特别，则(三)代数和的导数证注：公式可推广到有限多个函数的代数和。例1求下列函数的导数：39(四)乘积的导数证推论证2、可推广到有限多个函数的乘积，如一般地，有41例2求下列函数的导数：或用定义：42(五)商的导数证所以4445例3求下列函数的导数：或解46(六)对数函数的导数即Naturallogisnatural.由对数换底公式(七)指数函数的导数即特别地,(八)三角函数的导数即类似有例4解类似可得即50例5解类似可得即51三角函数的导数公式52例6求下列函数的导数：53例7解例

5、8解54训练：求导数或解：55(九)复合函数的导数推广证略例9解例10解例11解57例12解例13解58例14解59例15解60训练：求导数61(十)反函数的导数定理即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。证略62(十一)反三角函数的导数例16解类似有例17解类似有xy64反三角函数的导数公式65例18求下列函数的导数：66(十二)隐函数的导数问题：隐函数能否不经显化而直接求导?例19解比较：68解例20解得方程两边关于x求导,得解例21解得方程两边关于x求导,得69例22解注：先代入数值，再解方程，

6、较简便。方程两边关于x求导,得70解例23所求切线方程为方程两边关于x求导,得71解先变形为再两边关于x求导，例2472(十三)取对数求导法观察函数方法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数。适用范围：例25解等式两边取对数得注意：需把y换回成原来表达式。上式两边关于x求导,得74说明：所以故省略绝对值。75练习：解等式两边取对数得上式两边关于x求导,得76例26解等式两边取对数得或解对数恒等式上式两边关于x求导,得77例27解等式两边取对数得方程两边关于x求导,得78思考：解用对数

7、求导法得--局部对数求导法79例28解80(十四)由参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得即例29解82例30解所求切线方程为83(十五)导数公式85第四节高阶导数问题：变速直线运动的加速度。86解例1求下列函数的二阶导数：(1)(2)(3)(4)87例2解88例3解89例4求n阶导数：解90例5解91例6解92例7解类似可得归纳可证93例8解或解常用n阶导数公式：(α不为正整数)95第五节函数的微分实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量.(一)微分的定义问题：则函数的改变量为定义

8、differential98定理证(1)必要性99定理证(2)充分性100所以导数也称为“微商”.101(二)微分的几何意义MNT）几何意义：(如图)P以直代曲102例1解所以例2解103(三)基本微分公式104105微分法则：106(四)微分形式的不变性结论：此性质称为一阶微分的形式不变性。107例3解法1解法2分析微分的计算：计算函数的导数,乘以自变量的微分.也可利用微分的形式不变性计算。108例4解例5解109例6解110(五)微分在近似计算中的应用或写成111