赵树嫄微积分第四版第九章 微分方程与差分 方程 简介.ppt

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1、第九章微分方程与差分方程简介第一节微分方程的一般概念在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身，而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程.在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法以及它们的简单应用.定义含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程.定义出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数，称为微分方程的阶.未知函数是一元函数的微分方

2、程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本书中只讨论常微分方程，如下例：一阶二阶一阶定义使方程成为恒等式的函数称微分方程的解。微分方程的解的分类：(1)通解：微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同。(2)特解：不含任意常数的解。定解条件：用来确定任意常数的条件。初始条件：规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的取值。过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。解例设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。设曲线方

3、程为根据题意知(1,3)第二节一阶微分方程引例微分方程两边积分即可。分离变量，改写成两边积分，通解为(一)可分离变量的一阶微分方程(一)可分离变量的一阶微分方程为微分方程的通解。两边积分,为可分离变量的方程。称则第二节一阶微分方程可分离的微分方程的解法(1)分离变量g(y)dyf(x)dx(2)两边同时积分其中c是任意常数这就是可分离变量微分方程的通解解例解可简写为：例解练习解例为所求通解.解例解例分离变量，两边积分通解为所求特解为数学建模(二)齐次方程的微分方程称为齐次方程。形如例如可化为可化为齐次方程的解法例解此题不能分离变量,是齐次方程,例解原方程变形为练习解是齐次方程

4、,原方程变形为(三)一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上述方程称为齐次的.上述方程称为非齐次的.例如线性的,非齐次非线性的.齐次方程的通解为1、线性齐次方程一阶线性微分方程的解法：使用分离变量法2、线性非齐次方程常数变易法：作变换积分得所以原方程的通解为:解例通解为解例通解为解方程改写为所以所求解为一阶线性方程，例解这是一阶线性微分方程，通解为练习解例数学建模--价格调整模型设某商品的价格主要取决于市场供求关系，或者说供给量S与需求量D只与该商品的价格p有关。设其中k为正的常数，用来反映价格的调整速度。于是上述价格调整模型的解为第三节几种二阶微分方程(一)最简单的二阶微分方程解例

5、解法：两边积分两次即可。形如积分一次得再积分一次，得通解为(二)一阶微分方程解例解练习这是一阶线性微分方程，通解为所以原方程通解为(三)把y视为自变量解例代入原方程,得积分得通解为积分得通解为本题还可用下面的简单解法：解例解练习代入原方程,得第四节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性齐次微分方程其中p,q是常数.二阶常系数线性非齐次微分方程(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；证所以2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解。证所以(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；也是(1)的

6、解，(称线性无关),则上式为(1)的通解.定理12、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解。(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；代数方程(3)称为微分方程(1)的特征方程，它的根称为特征根.情形1则特征方程(3)有两个相异的实根故它们线性无关,因此(1)的通解为情形2需要求另一个特解则特征方程(3)有两个相等的实根于是(1)的通解为由欧拉公式知，情形3则特征方程(3)有一对共轭复根仍然是(1)的解,且线性无关,所以方程(1)的通解为由叠加原理,二阶常系数线性齐次微分方程的解法：特征方程特征根的情况通解的表达式解特征方程为故所求通解

7、为例例解特征方程为解得故所求通解为特征根为解特征方程为故通解为例特征根为训练：求下列微分方程的通解解解方程通解为特征方程特征根解通解为通解为(二)二阶常系数非齐次线性方程解的性质及解法1、方程(2)的任意两个解的差是(1)的解；证所以2、方程(1)的一个解加上方程(2)的一个解是(2)的解.证所以(二)二阶常系数非齐次线性方程解的性质及解法对应齐次方程定理2那么方程(2)的通解为问题归结为求方程(2)的一个特解。只讨论f