第九章 微分方程与差分方程简介.ppt

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1、第九章　微分方程与差分方程简介第一节微分方程的一般概念第二节　一阶微分方程第三节几种二阶微分方程第四节二阶常系数线性微分方程在科学研究中，常常需要寻求变量间的函数关系，但有时这种关系不能直接得到，而只能建立待求变量间的导数或微分关系，这类含有未知函数的导数或微分的关系，即是微分方程。通过解微分方程才能得到所求函数关系。8-10学时1第一节微分方程的一般概念例1.设曲线y=f(x)过点(1,2)，且其上各点的切线斜率等于该点横坐标的2倍，则有将x=1时y=2代入2第一节微分方程的一般概念例2.设s=s(t)为作自由落体运动的物体在t时刻的下落距离，则有3第一节微分方程的

2、一般概念定义91(微分方程)含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程微分方程的阶方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数，称为微分方程的阶定义92(微分方程的解)如果一个函数代入微分方程后方程两端恒等则称此函数为该微分方程的解4第一节微分方程的一般概念定义93(微分方程的通解和特解）如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数则此解称为微分方程的通解初始条件用于确定通解中的任意常数的条件称为初始条件在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解称为特解5第一节微分方程的一般概念1.微分方程(ordinarydifferentialequa

3、tion)2.微分方程的阶(order)3.微分方程的解(solution)4.微分方程的通解(generalsolution)5.微分方程的特解(particularsolution)6.微分方程的初始条件(initialcondition)6第二节　一阶微分方程（一）可分离变量的一阶微分方程变量已分离的微分方程积分可分离变量的微分方程分离变量分离变量7（一）可分离变量的微分方程例1.马尔萨斯人口模型或若则有故解：8（一）可分离变量的微分方程例2.积分变量解：9称它们为方程的奇解或包络。（一）可分离变量的微分方程例3.显然，也是该方程的解，但它们不包含在方程的通解中

4、，-6-4-2246-1-0.50.51（二）齐次微分方程解：10（二）齐次微分方程如果方程F(x,y,y)0能够写成形如的形式则方程F(x,y,y)0称为齐次微分方程例如：11（二）齐次微分方程齐次方程的解法：12（二）齐次微分方程例.令则13（三）一阶线性微分方程（linearfirstorderdifferentialequation)齐次(homogeneous)非齐次(inhomogeneous)14（三）一阶线性微分方程对求导将代入方程，可得15（三）一阶线性微分方程将代入得齐次通解非齐次特解返回16（三）一阶线性微分方程例1.得故由常数变易代

5、入非齐次方程，得将解：17（三）一阶线性微分方程例2.因故解：18（三）一阶线性微分方程例3.解：19（三）一阶线性微分方程常数变易故20（三）一阶线性微分方程因故21（三）一阶线性微分方程例4.设某种商品的供给量QS与需求量QD是只依赖于价格P的线性函数：且a,b,c,d都是已知的正常数．当QS=QD时，得均衡价格当QS>QD时，价格将下降，当QS

6、令则于是例2.求解微分方程解：设则代入方程得24故（二）不显含未知函数y的二阶微分方程由代入代入即25故（二）不显含未知函数y的二阶微分方程或由代入代入即26（三）不显含自变量x的二阶微分方程令则于是例3.求解微分方程解：设则代入方程得27（三）不显含自变量x的二阶微分方程由由包含在上述通解中．代入代入故为所求特解.28（三）不显含自变量x的二阶微分方程或由代入代入故为所求特解.而由与矛盾，即29练习题及解答1.求解微分方程法一.令则代入原方程30练习题及解答1.求解微分方程代入矛盾．故代入因故31练习题及解答1.求解微分方程法二.令则代入原方程32练习题及解答1.求

7、解微分方程代入故代入因故33练习题及解答2.解：令故所求通解为34第四节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程齐次非齐次二阶常系数线性齐次微分方程35（一）二阶常系数线性齐次方程叠加原理方程和的解的线性组合仍是该方程的解.证明：36（一）二阶常系数线性齐次方程定理9.1如果y1、y2是方程ypyqy0的两个特解，而且y1/y2不等于常数，则yC1y1C2y2是该方程的通解，其中C1与C2为任意常数线性无关：线性相关：37（一）二阶常系数线性齐次方程将代入方程特征方程(characteristicequation)特征根(cha