微分方程和差分方程.ppt

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1、—积分问题—微分方程问题推广微分方程第八章常微分方程偏微分方程含自变量,未知函数及其导数(微分)的方程叫做微分方程(未知函数为一元函数)一、微分方程的基本概念分类微分方程的基本概念第一节(未知函数为多元函数)方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.的线性函数，一般地,n阶常微分方程的形式是若F为则称其为n阶线性微分方程;否则，称其为非线性微分方程。例：其一般形式为其中均为x的已知函数。一阶非线性常微分方程一阶线性常微分方程二阶非线性常微分方程二阶偏微分方程二、微分方程的解—使方程成为恒等式的函数.微分方程的解通解—解中含有n个独立的任意常数的函数

2、解，称为其通解。特解—在通解中给任意常数以确定的值而得到的解，称为其特解。例：其通解为，其中为任意常数。取，得其特解为。—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):例通解:特解:定解条件转化可分离变量微分方程第二节分离变量方程一、可分离变量方程一阶微分方程的一般形式为或分离变量方程分离变量方程的解法:两边积分,得①②则有其中C为任意常数。例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即

3、由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为例3：分离变量即(C<0)解：二、齐次微分方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(C为任意常数)例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即(C为任意常数)