微分方程和差分方程简介

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1、微分方程与差分方程简介我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程.动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程一、微分方程的基本概念含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程.未知函数为一元函数的微分方程，

2、叫常微分方程.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程.这里我们只讨论常微分方程，简称为微分方程，例如解：满足等式的函数特解：在特定初始值条件下的解通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解二、常见的微分方程的类型及其解法：1.一阶微分方程常用的解法：分离变量法例1求微分方程解首先分离变量，得以后为了方便起见，我们可把记住结果中的常数C可正可负。显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。2.一阶线性微分方程解法：常数变易法。得到通解直接利用非齐次方程的通解公式，得3.

3、二阶常系数线性微分方程的微分方程称为二阶常系数线性微分方程。解法：齐次方程的通解+原方程的特解=原方程的通解特征方程的根齐次方程的通解两个相异实根两个相等实根一对共扼复根二阶非齐次常系数微分方程相关的参考书：常微分方程.高等教育出版社.数学建模与数学实验.赵静，但琦.高等教育出版社数学建模方法及其应用.韩中庚.高等教育出版社三、利用Matlab求微分方程的解析解求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)结果：u=tg(t-c)解输入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','

4、y(0)=0,Dy(0)=15','x')结果为:y=3e-2xsin（5x）解输入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；x=simple(x)%将x化简y=simple(y)z=simple(z)结果为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2ty=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t返回四、微分方程的数值解（一）常微分方程数值

5、解的定义在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。返回（二）建立数值解法的一些途径1、用差商代替导数若步长h较小，则有故有公式：此即欧拉法。2、使用数值积分对方程y’=f(x,y),两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：实际应用时，与欧拉公式结合使用：此即改进的欧拉法。故有公式：3、使用泰勒公式以此方法为基础，有龙格-库塔（RungeKutta）法、线性多步法等方法。4、

6、数值公式的精度当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。k越大，则数值公式的精度越高。欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。返回（三）可以用Matlab软件求常微分方程的数值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法

7、ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.Exapmle：人口增长模型i.指数增长模型(Malthus模型)ii.阻滞增长模型(Logistic模型、Verhulst模型)传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型已感染人数(病人)i(t

8、)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1