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《九章微分方程与差分方程简介》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高等数学课程教案授课题目§9.1微分方程的一般概念§9.2—阶微分方程(一)课时安排2课时主讲人教学目的1.理解微分方程的基本概念。2.掌握一阶可分离变量方程的解法。教学重点、难点一阶町分离变量方程的解法；区分解与通解；分离变量后的积分授课类型：理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体教学过程备注§9.1微分方程的一般概念例1一曲线通过点(1,2),几在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2兀，求这曲线的方程./=2x且y(]=2,y=F+C,C=1.例2列车在平直线路上以20(m/s)的速度行驶，当制动时列车获得加速成度-0.4(m/52)・求开始
2、制动后列车行驶的路程£与时间t的函数关系s=s(/)o；=0.4.s=0.2尸+CJ+G，v=0.4/+20,s=0.2z2+20r.dr1亠定义：含未知函数、未知函数的导数或微分以及自变量之间关系的方程叫做微分方程。微分方程中未知函数的最高阶导数称为微分方程的阶。例：指出下列各微分方程的阶1.2.卩+小"+(;/『+2严=13.才4-y,n=y注意：在一个微分方程中，自变量八未知函数y可以不出现，但未知函数的导数或微分不能不出现。在研究几何、物理、经济等问题会遇到微分方程，并且有广泛15用。本章只介绍基木概念，和最简单的儿种方程的解法。定义1任何函数
3、y=0(x),代入微分方程(10.1.1)后能使两端成为恒等式，则K兀)叫作微分方程的解.例如，显函数y=2cosx是微分方程=0的解；隐两数%2+y2=C2是微分方程y^x/y=0的解.定义2：设〃阶微分方程(10.1)的解y=°(兀,G，C2,…,CQ包含农个輕報任意常数:Ge?,…,G，则称它为通解；如果微分方程的解y=(p(x)不包含任意常数，则称之为特解.定义3：设必(兀),y2(x)为定义在数域I内的两个函数，如果存在非零常数匕使得必(兀)=无・旳(兀)・则称必(兀),%(兀)线性相关;对任意常数匕如果必⑴都不恒等于k*y2(x),则称yx
4、(x),力任)线性无关.例如，1与兀，sinx与cosx,3%与e"线性无关，疋与5疋,e2v与5e2x线性相关如果一个函数代入微分方程能使Z成为恒等式，称该函数为微分方程的解。如果微分方程的解中含冇独立的任意常数个数与微分方程的阶相同，则称这解为微分方程的通解。用一些条件确定通解中的任意常数而得到的解称为微分方程的特解。用來确定通解中任意常数的条件叫做初始条件。一阶微分方程初始条件的提法为：y=北二阶微分方程初始条件的提法为：y=%，川=儿*例1验证y=C1cos2x+C2(2sin2x-l)是否为微分方程y〃+4y=0的通解？解y=C}cos2x+
5、C2(2sin2兀-1)=C
6、cos2x4-C2(-cos2x)=(Q-C2)cos2x=Ccos2x(其中C=-C2),两边求导可得yff=-4Ccos2x=-4y9即yn+4y=0.因此它是二阶方程”+4y=0的解，但是该解实质上只含有一个独立的任意常数，所以它不是通解，也不是特解.§9.2一阶微分方程(一)一、可分离变量的微分方程一阶微分方程：yf=f(x,y)若能化为y'二/?a)・g(y),则称该方程为可分离变量的微分方程。例如：卩=2兀+1这是可分离变量的微分方程，解这个微分方程只耍方程两边积分：°y=x：+x+C.又如卩=2兀)？这也是可
7、分离变量的微分方程，侣这个微分方程就不能两边直接积分，这是因为J2xy2dx含有未知函数y。但若把上面的微分方程变形为：=2xdx两边积分得：-丄=尢2+cy一般地，若y'-Kx)^y)把方程变形为：1dy=h{x)dx,若y-讽力是方程的gO)解，则冇：1(px)dx=hMdx两边对X积分，左边利用凑微分法：g[0(x)][—!—dy=fh{x)dx。Jg(y)J即可分离变量的微分方程求解方法是：把变量分离两边再积分。例1：求解微分方程：e+i)2)/+j?=o例2：求解微分方程：尸“例3：求解微分方程：兀(1+)'2)张刁(1+d)d)=O作业：
8、p4101、(1),(3),(5),2、(1)(3)(5)(7)高等数学课程教案授课题目§9.2—阶微分方程（二）（77）课时安排2课时主讲人教学目的拿握齐次方程和一阶线性微分方程的解法o教学重点、难点一阶线性微分方程的常数变易法求解线性非齐次方程；齐次方程和一阶线性微分方程的解法。授课类型：理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体教学过程备注（一）可分离变量的方程本次课两种方形如程以线dx性方程为重或M^x)M2(y)dx+"(x)・N2(y)dy=O点，求的方程叫做可分离变量的微分方程.解时掌握方法解法：川-^—dx去乘方程的两边后再积分便可得到该方程
9、所确定的兀,y间的隐更为重g(y)要。函数农达式Jg（y严打皿+c.M用（）小N、（x）去除方
