10 微分方程与差分方程

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1、第六章微分方程与差分方程一、知识网络图二、内容与要求1．了解常微分方程及其阶、解、通解、初始条件、特解等概念．2．能正确判断一阶微分方程的类型，熟练掌握可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程的解法．3．能用降阶法解特殊类型的高阶微分方程（包括，，的解法）．4．熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握高阶常系数齐次线性微分方程的解法．5．理解二阶线性方程的通解结构，掌握自由项形如的二阶常系数非齐次线微分性方程的解法．6．会对一些简单的经济、几何等问题建立微分方程模型并求解．7．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．8．掌握一阶常系数

2、线性差分方程的求解方法．9．会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题．重点微分方程与差分方程的概念；可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程的解法；一阶常系数线性差分方程的解法．难点二阶常系数非齐次线性微分方程的求解；一阶常系数非齐次线性差分方程的求解；微分方程与差分方程的应用．三、概念、定理的理解与典型错误分析1、基本概念（1）微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程．（2）微分方程的阶微分方程中未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．（3）微分方程的解代入微分方程能使其成为恒等式

3、的函数，称为微分方程的解．（4）微分方程的通解如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，那么这样的解称为微分方程的通解．通解有两种：一种称显式通解，一种称隐式通解．（5）微分方程的特解微分方程的解如果是完全确定的（即不含有任何参数），称为微分方程的特解．微分方程的特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线．（6）微分方程的初值问题求满足一定条件的微分方程的特解，这个问题称为微分方程的初值问题，这个条件称为微分方程的初始条件．（7）一阶差分对任何数列，称数列为原数列的一阶差分．（8）阶差分阶差分的差分称为

4、数列的阶差分，记为．二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．（9）差分方程含有自变量，未知函数或求知函数的差分的方程称为差分方程．（10）差分方程的阶差分方程中所含未知函数差分的实际最高阶数或方程中未知函数的最大下标与最小下标的差数称为此差分方程的阶．（11）差分方程的解满足差分方程的函数，称为差分方程的解．（12）差分方程的通解若解中所含相互独立的任意常数个数与差分方程的阶数相同，则这个解称为此差分方程的通解．（13）差分方程的特解确定了任意常数的解，称为此差分方程的特解．（14）差分方程的初始条件用来确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件．

5、2、主要定理（1）对二阶常系数齐次线性微分方程①我们有定理1若和是方程①的两个解，则也是方程①的解，其中是任意常数．特别地，当线性无关时，则是方程①的通解．（2）对二阶常系数非齐次线性微分方程②我们有定理2若是方程②的一个特解，是其对应的齐次方程①的通解，则是方程②的通解，其中是任意常数．定理3设和分别是非齐次线性微分方程和的特解，则是方程的特解．3、微分方程和差分方程的类型及解法（1）一阶微分方程及其解法（i）可分离变量的微分方程形如的方程．解法分离变量（即把含有x的放在一边，把含有y的放在另一边），将方程变为，两边积分，得．这是方程的隐式

6、通解，若化简方便，则化简为．（ii）齐次微分方程形如的方程．解法作变量代换,令，代入方程得这是一个变量u关于变量x的可分离变量的方程，求出u的通解，再用代入，即得原方程的通解．（iii）一阶齐次线性微分方程形如的方程．解法分离变量法．（iv）一阶非齐次线性微分方程形如的方程．解法常数变易法或公式法．常数变易法先解对应齐次方程的通解，然后将通解中的常数C变易为待定函数，即令代入原方程求出待定函数，便得方程的通解．通解公式法（v）贝努利方程形如（n≠0,1）的方程．解法作变量代换,令代入方程得这是一个变量z关于x的一阶线性微分方程．求出通解，再用

7、代入即得原微分方程的通解．（2）高阶微分方程及其解法（i）可降阶的高阶微分方程型解法经过n次积分，就可得方程的通解．型（不显含）解法设，，代入方程得，这是一个p关于x的一阶微分方程，求出通解，再积分就可得原方程的通解．型（不显含）解法设，，代入方程得，这是一个p关于y的一阶微分方程，求出通解，再分离变量，积分就可得原方程的通解．（ii）二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程（其中p,q为常数）解法第一步：写出特征方程；第二步：计算特征根；第三步：根据的不同情况，按下表写出方程的通解．（iii）二阶常系数非齐次线性微分方程形如的方程（p,q为常数

8、）．解法先求出对应齐次微分方程的通解，再求出原方程的一个特解，则原方程的通解为．下面以表格形式列出的两种不同类型时，特解的形式．然后代入方程用待定系数法求出特解．（