习题详解-第10章微分方程与差分方程初步

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1、习题10-11.指出下列方程的阶数:(1).(2).(3).(4).解:(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶2.验证下列给出的函数是否为相应方程的解:(1),.(2),.(3),.(4),.解:(1)是,代入即可.(2)是,代入即可;(3)是,因为,满足;(4)是,代入,,显然满足.3.验证:函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程的通解.解:满足,所以是解,又因为含有两个任意常数,且方程是二阶的,故是通解.4.已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程的通解,求满足初始条件x

2、t=0=2,x¢

3、t=0=0的

4、特解.解:上题可知是微分方程通解,且代入初值条件,得,所以特解为习题10-21.求下列微分方程的通解:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8).解:(1)这是可分离变量方程,分离变量得两端分别积分:-18-这就是方程通解.(2)这是可分离变量方程,分离变量得两端分别积分:即这就是方程通解.(3)这是可分离变量方程,分离变量得两端分别积分:即这就是方程通解.(4)这是可分离变量方程,分离变量得两端分别积分:即这就是方程通解.(5)这是齐次方程,令则代入原方程并整理 两端分别积分:即这就是方程通解.(6)这是齐次方程,化简得令则代入

5、原方程并整理,两端分别积分:即这就是方程通解.(7)这是齐次方程,化简得-18-令则代入原方程并整理,两端分别积分:即这就是方程通解.(8)这是特殊方程,用换元法,令则代入原方程并整理,两端分别积分:即这就是方程通解.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1),;(2),;(3),;(4),.解 (1)分离变量:.两端分别积分:.解得:.将代入通解中,求得.故所求特解为.(2)分离变量:.两端分别积分:-18-.将代入通解中,求得.故所求特解为.(3) 这是齐次方程,令则代入原方程并整理 两边积分得  即变量回代得所求通解由代入通解,得,故所求

6、初值问题的解为3.一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分,且通过点(1,2),求该曲线方程.解:设曲线方程为:由题意可得方程:,且,解分离变量方程得:,由得,故所求曲线为:.4.物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如,警方破案时,法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间,就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100℃,将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t的变化规律.解设物体的温度与时间的函数关系为建立该问题的数学模型:其中为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得两边积分得(其中为任意常数

7、),即(其中).从而再将条件(2)代入,得于是,所求规律为习题10-3-18-1.求下列微分方程的通解:(1);(2);(3);(4);(5);(6)解(1)这是一阶线性非齐次方程,其中.首先求出(积分后,不再加任意常数),然后用公式(10-6)可得所求通解为.(2)这是一阶线性非齐次方程,其中.首先求出(积分后,不再加任意常数),然后用公式(10-6)可得所求通解为.(3)这是一阶线性非齐次方程,其中.首先求出(积分后,不再加任意常数),然后用公式(10-6)可得所求通解为.(4)将x看作y的函数,即对进行求解,可将原方程化为未知函数为的线性方程,

8、于是,.首先求出,然后代入通解公式,可得所求通解为    .(5)将x看作y的函数,即对进行求解,可将原方程化为未知函数为的线性方程,于是,.-18-首先求出,然后代入通解公式,可得所求通解为    .(6)令则代入原方程并整理 两边积分得  变量回代得所求通解2.求解下列初值问题:(1),;(2),;(3),;(4),.解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得,其通解为,将初始条件代入上式,可得,故所求特解为.(2)这是一阶线性非齐次方程,其中.首先求出(积分后,不再加任意常数),然后用公式(10-6)可得所求通解为将初始条件代入上式,可得,故所求特

9、解为.(3)将x看作y的函数,即对进行求解,可将原方程化为未知函数为的线性方程,于是,.首先求出,然后代入通解公式,可得所求通解为-18-    .将初始条件代入上式,可得,故所求特解为.(4) 这是伯努利方程,以除方程的两端,得即令则上述方程变为 解此线性微分方程(过程略),可得,得所求通解为,将初始条件代入上式,可得,故所求特解为.3.通过适当变换求下列微分方程的通解:(1);(2).解 (1)令则原方程化为.分离变量,得,两端积分得以代入上式,得通解.(2)这是伯努利方程,其中,则有公式得通解4.求过原点的曲线,使其每一点的切线斜率等于横坐标的

10、2倍与纵坐标之和.解:由题意可得方程,这是一阶非齐次线性方程,其中,然后用公式(10-6)可得所求通解为-1

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