微分方程与差分方程_详解与例题new

《微分方程与差分方程_详解与例题new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数

2、齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线

3、性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等

4、概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。【考点八十三】形如的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序：当，然后左、右两端积分上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C为任意常数，的一个原函数，表示函数的一个原函数.【例7.1】微分方程的通解为____________。-18-【详解】，.两边积分得，即，，，C为任意常数。【例7.2】微分方程，当时，的特解为____________。【详解】分离变量得，.积分得，，，即.令，则，∴所求特解为.【例7.3】若连续函数满足关系式，则等于（）（A）（B）（C）（D）【详解】对所给关系式两边关于求导，得，且有初始

5、条件.于是，，，积分得，故令应选（B）。【例7.4】已知曲线处的切线斜率为则.-18-【详解】将【例7.5】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？【详解】半径为的球体体积为，表面积为，而雪堆为半球体状，故设雪堆在时刻的底面半径为r，于是雪堆在时刻的体积，侧面积。其中体积，半径与侧面积S均为时间的函数。由题意，有.。即，，又时，,，即.而，即.，。当雪堆全部融化时，令，得（小时）。【例7.6】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技

6、术的人进行的，设该人群的总人数为，在时刻已掌握新技术的人数为，在任意时刻已掌握新技术的人数为（将视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数，求。【详解】首先要根据题中所给条件，建立的微分方程。由于题中条件很明确，即：的变化率与成正比，容易得出的微分方程，再求出特解即得。-18-由已知得,分离变量，得.积分得即,.,又∴代入得，故。【考点八十四】形如的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令，则，代入得.分离变量，得。两端积分，得，求出积分后，将换成，即得齐次方程的通解。【例7.7】求初值问题的解。【详解】故此方程为齐次方程，其解法是固定的

7、。令，故，积分得-18-代入，得即，由已知，代入得，∴所求初值问题的解为，化简得.【例7.8】设函数在上连续。若由曲线，直线与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解。【详解】由旋转体体积计算公式得于是，依题意得.两边对t求导得将上式改写为，即令，则有当时，由.两边积分得.从而方程的通解为为任意常数）。由已知条件，求得从而所求的解为或-18-【例7.9】求微分方程的通解.【详解】将微分方程进行恒等变形，化为设，有，则.积